Matematyka.pl

Witam!

Próbuję od jakiegoś czasu poszerzyć swoje umiejętności matematyczne, ale ciągle trafiam na barierę w postaci zapisu twierdzeń, którego nie potrafię rozgryźć i przełożyć na faktyczne obliczenia.

Czy jest jakiś podręcznik, który dobrze taki temat omawia?

Tekstu matematycznego nie czytamy liniowo. Ja najpierw czytam pobieżnie wypowiedź, potem studiuję tez pobieżnie dowód i potem przechodzę do szczegółów. Wcześniej patrzę na wnioski.

Yulek pisze:
Próbuję od jakiegoś czasu poszerzyć swoje umiejętności matematyczne, ale ciągle trafiam na barierę w postaci zapisu twierdzeń, którego nie potrafię rozgryźć i przełożyć na faktyczne obliczenia.

Czy jest jakiś podręcznik, który dobrze taki temat omawia?

Nie jestem pewien, czy taki podręcznik jest, nie spotkałem się nigdy z taką pozycją.

Natomiast z porad praktycznych sugeruję, by twierdzenia wypowiedziane w postaci

\(\displaystyle{ X}\)-normalna przestrzeń, \(\displaystyle{ A,B\in \sigma}\), \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \exists \ f:X\to [0,1]\ \ f|_A=0, f|_B=1, f}\) ciągła.

Przetwarzać w swojej głowie do postaci:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią normalną, \(\displaystyle{ A, B}\) domkniętymi i rozłącznymi zbiorami tej przestrzeni. Wtedy istnieje ciągła funkcja określona na całej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) taka, że \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) na \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ f\equiv 1}\) na \(\displaystyle{ B}\).

Innymi słowy - zamieniaj znaczki na słowa. Im więcej czytasz i przekładasz na słowa to, co zapisane jest znaczkami, tym łatwiej jest zrozumieć, co tak na prawdę autor miał na myśli. I tak z każdymi znaczkami. Zarówno dla wypowiedzi twierdzeń, jak i dla ich dowodów.

szw1710 podał również ogólną ideę, pod którą ja się podpisuję - zapoznaj się pobieżnie w tym, co jest napisane. Wychwyć ogólną ideę tego, co autor przedstawia. Potem zajmij się szczegółami.

Ja jeszcze taką dziwną "poradą" zarzucę - czasami, gdy czytam dowód jakiegoś twierdzenia po raz \(\displaystyle{ n-ty}\) i nadal go nie rozumiem, to biorę kartkę i długopis do ręki, zamykam książkę/stronę z tym dowodem i próbuję go wymyślić sam (oczywiście nie będzie to czysto samodzielny dowód, w końcu czytałem go już \(\displaystyle{ n}\) razy, więc coś tam w głowie na pewno zostało, jakieś pojedyncze kroki). Nie zawsze się udaje, ale jeśli się uda, to poziom zrozumienia będzie ostro większy niż gdybyś podczas \(\displaystyle{ n+1-}\)wszego czytania zajarzył w końcu, o co tam chodzi.

Pisanie jest bardzo pomocne. Pozwala jeszcze dogłębniej zastanowić się nad tym, co tak na prawdę znaczą przeczytane znaczki oraz ile z tego rozumiemy. Taka metoda jest przeze mnie z sukcesami wykorzystywana od lat

Dobrze jest także przed przeczytaniem dowodu jakiegoś twierdzenia spróbować samemu go wymyślić. Oczywiście nie zawsze się udaje, ale pozwala to na lepsze zrozumienie tego co chcemy tak naprawdę pokazać. I tak jak już było powiedziane - warto podczas czytania bazgrać po kartkach.

Ja to sobie zrobiłem kartki z wypisanymi twierdzeniami - od każdego "działu" osobna. Czasem to pomaga, bo nie zawsze w dowodzie jest wszystko napisane, z czego autor korzysta, a i nie wszystko się pamięta. Łatwiej zawsze spojrzeć na kartkę, zamiast wertować całą książkę.

Dziękuję za porady, faktycznie lepiej nie czytać twierdzeń liniowo, natomiast doszedłem do wniosku, że nie potrafię przeprowadzić dowodu, więc przypuszczam, że problem leży u podstaw mojej wiedzy z matematyki. Najwyraźniej nauczyłem się mechanicznie arytmetyki, a nie zrozumiałem teorii za nią stojącej.

Odnoszę wrażenie, że najpierw muszę się nauczyć logiki matematycznej w stopniu wystarczającym do przeprowadzenia dowodu. Co następnie bym potrzebował?

Ja bym może zaczął od tego, że nie ma czegoś takiego jak teoria w matematyce. Jest po prostu matematyka.

.

Moim zdaniem nalepszą metodą poznawania dowodów od podszewki jest szczegółowe ich tłumaczenie innym osobom. Jeżeli masz jakiegoś kolegę, koleżankę pod ręką, który zna podstawy tego czego się uczysz (ale najlepiej nie zna dowodu twierdzenia, które masz na oku), zapytaj czy miałby ochotę o tym posłuchać (przy kawie, piwie, czymkolwiek). Idealnie, gdybyście mieli do dyspozycji tablicę.

Mnie czytania twierdzeń i dowodów nauczyła książka Jana Kraszewskiego "Wstęp do matematyki". Wydaje mi się, że na początek jest ona bardzo fajna do tego celu. Można ją znaleźć w wielu bibliotekach.

Miód na moje serce...

JK

Podłączam się pod ten post.
Na rynku jest dostępnych kilka pozycji na ten temat np. "Jak tego dowieść"- D. Laskowsiego, czy "O pojęciu dowodu w matematyce" - K. Wójtowicza. Czy jest ktoś, kto czytał któraś z tych książek? Wyglądają mi one na książki popularne naukowe, a mnie bardziej interesują rzeczy bardziej formalne. Czy zna ktoś inne książki do nauki dowodów?

Yulek pisze:Witam!

Próbuję od jakiegoś czasu poszerzyć swoje umiejętności matematyczne, ale ciągle trafiam na barierę w postaci zapisu twierdzeń, którego nie potrafię rozgryźć i przełożyć na faktyczne obliczenia.

Czy jest jakiś podręcznik, który dobrze taki temat omawia?

Na oswojenie się z symbolami jest tylko jedna rada, czytać jak najwięcej.
Ja polecam "Co to jest matematyka" - COURANT/ROBBINS/STEWART

Ja mam taki problem, że nauczyłem się mechanicznie wykonywać działania takie jakie mi pokazywano w szkole i na studiach, a teraz jak potrzebuję np rozwiązać problem optymalizacji dwuwymiarowej, którego na studiach nie było, to mimo, że znajdę tonę materiałów jak to zrobić, nie jestem w stanie napisać równań i określić algorytmu działania. Teraz się dokształcam, na pierwszy ogień logika matematyczna.