Matematyka.pl

Nie mam pomysłu, jak pokazać, że \(\displaystyle{ \left| \sqrt{x}- \sqrt{y} \right| \le \sqrt{\left| x-y\right| }}\).

Rozpatrz dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x \ge y}\)
2. \(\displaystyle{ x<y}\)

Zauważyć, że \(\displaystyle{ x\ge 0, y\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{x}\ge\sqrt{y}}\) jest równoważne \(\displaystyle{ x\ge y}\)

robertm19 pisze:Zauważyć, że \(\displaystyle{ x\ge 0, y\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{x}\ge\sqrt{y}}\) jest równoważne \(\displaystyle{ y\ge x}\)

Trochę przesadziłeś...

JK

Próbowałem to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \left| \sqrt{x}- \sqrt{y} \right| \le \sqrt{\left| x-y\right| }}\)
\(\displaystyle{ \left| \sqrt{x}- \sqrt{y} \right| ^{2} \le \left| x-y\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x-2 \sqrt{xy}+y \right| \le \left| x-y\right|}\)
nie bardzo wiem, jak to dalej pociągnąć.

EDIT czy mogę tu \(\displaystyle{ \left| \sqrt{x}- \sqrt{y} \right| ^{2}}\)zdjąć moduł?

Jan Kraszewski pisze:

robertm19 pisze:Zauważyć, że \(\displaystyle{ x\ge 0, y\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{x}\ge\sqrt{y}}\) jest równoważne \(\displaystyle{ y\ge x}\)

Trochę przesadziłeś...

JK

racja kolejność mi sie pomyliła, zaraz poprawię

-- 25 czerwca 2013, 13:24 --

bakala12, dobrze ci napsiał, rozpatrz dwa przypadki.
1 \(\displaystyle{ \sqrt{x}\ge \sqrt{y}}\) więc także \(\displaystyle{ x\ge y}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x}-\sqrt{y}\le \sqrt{x-y}}\) podnieś do kwadratu obie strony i wyjdzie.