Matematyka.pl

Ile jest wielomianów \(\displaystyle{ f \in Z_{7}[x]}\) stopnia 2012 spełniających:
\(\displaystyle{ f(0) = 5}\)
\(\displaystyle{ f(2) = 3}\)
\(\displaystyle{ f(3) = 6}\)
\(\displaystyle{ f(6) = 5}\)

Bardziej zależało by mi na jakimś naprowadzeniu jak się do tego zabrać w ogóle.
Z góry dzięki

Jakoś by można zaadaptować wzór interpolacyjny Newtona. On polega na uwzględnieniu pierwszego warunku, potem dodaniu czegoś, aby mieć drugi warunek itp. Stąd możesz sobie zainterpolować wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) i dodawać do niego dalszą część. Cztery warunki dadzą konkretniejszą postać. A więc znajdź najpierw wielomian spełniający te \(\displaystyle{ 4}\) warunki - stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\). Możesz też urzyć wzoru Lagrange'a.

Można tu dzielić przez wspólczynniki, bo \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) jest ciałem.

szw1710 pisze:Możesz też urzyć wzoru Lagrange'a.

Aaaa! Użyć : )

Hint do zadania: zamiast liczyć, ile jest wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\), można policzyć ile jest stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n-1}\) i odjąć drugą liczbę od pierwszej.
A także: może warto popatrzeć na odpowiednio długi sufiks ciągu współczynników i... powkładać do niego coś dowolnego.

Nareszcie padło i na mnie Bardzo dziękuję z wytknięcie błędu ortograficznego. I oczywiście przepraszam za jego popełnienie mając pełną świadomość poprawnej pisowni Celowo nie będę edytował posta, niech tak zostanie na świadectwo, że może się to zdarzyć każdemu.

Oczywiście nic mnie nie tłumaczy.

A mógłby ktoś trochę bardziej to rozpisać? Bo znam wzór interpolacyjny Lagrange'a, ale jednak nie bardzo widzę jak by mi mógł pomóc, szczególnie, że szukam wielomianów tak dużego stopnia...