Matematyka.pl

Trzeba pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x\sin x}\) nie jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ [0, infty )}\) W odpowiedziach podano, żeby wziąć dwa podciągi: \(\displaystyle{ 2n\pi \ oraz\ 2n\pi + \frac{1}{n}}\) O ile widzę, że różnica tych dwóch ciągów zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) to jednak nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \left| f(2n\pi)-f\left( 2n\pi+ \frac{1}{n} \right) \right|}\) zbiega do \(\displaystyle{ 2\pi}\)

EDIT poprawiłem różnicę funkcji na \(\displaystyle{ 2\pi}\)

\(\displaystyle{ \sin2n \pi =0}\) dla n całkowitych.

To wiem, ale nie rozumiem skąd się bierze to \(\displaystyle{ 2\pi}\) jako granica. Przepraszam za pomyłkę w pierwszym poście.

\(\displaystyle{ 2\pi n\sin2\pi n}\) to oczywiście \(\displaystyle{ 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).
Ale \(\displaystyle{ \left( 2\pi n+\frac 1n \right) \sin \left( 2\pi n+\frac 1n \right)}\) z \(\displaystyle{ n}\) w nieskończoności otrzymasz symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty\cdot 0}\). Rozpisz sinusa sumy i zastosuj granice \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\)

Super! Bardzo dziękuję.