Matematyka.pl

Od czego zależy możliwość przedłużania funkcji w sposób ciągły? W zbiorze zadań napisano, że funkcję \(\displaystyle{ e ^{x}}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) można przedłużyć w sposób ciągły do \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) ale funkcji \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{1}{x} \right)}\) już nie. Nie rozumiem dlaczego.

Można przedłużać w sposób ciągły na koniec przedziału, gdy istnieją granice jednostronne

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)}\)

i wtedy przyjąć za wartości wyliczone granice.

Łatwo sprawdzić, że

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^+} \sin \frac{1}{x}}\)

nie istnieje, więc nie ma ciągłego przedłużenia na przedział domknięty.

Dziękuję