Tożsamości w algebrze

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Tożsamości w algebrze

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 cze 2013, o 15:26

Algebra:
...zajmuje się działaniami i wyrażeniami
od. ok. IX w; od matematyka arabskiego Alchwarizmiego - Hisab al dżabr ua mukabala.
algebra to
jest upraszczanie i przekształcanie wyrażeń.
Jest to także przekładanie niewiadomej w równaniu.
(np. \(c - a =b\) , \(a =c - b\) itp. )

Tożsamość, tożsamy, to samo, tym samym, identyczne

zmienne \(a, b, c\) oraz \(x, y, z, .... \in R\)
jak też \(a_j, x_j\)
zaś \(n, m, k, l, ....\) są w \(N=\{1, 2,....\}\) bądź \(Z =\{ 0, \pm 1, \pm 2,...\}\)

tożsamości: Eulera, z pierwiastkami, Abela, różnice i sumy kwadratów, oraz innych potęg, z niejednoznacznością rozkładu, o zerowej sumie, złożone - (Degen) lub Ramanujan Tożsamość 6-8-10 i inne (Hirschhorn 3 - 7 - 5), Lagrange, Czebyszew, Binet, z Nww i Nwd , do teorii równań diofantycznych, z cechą , bikwadraty, uogólnienia i inne
aktualizacja: \(71\) tożsamości;

Tożsamości z pierwiastkami
Jeśli \(a^2 - b = c^2\) to
\(\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - c}{2}}\)
\(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{ a + 2\sqrt{ab} + b}\)
\(2(\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}) = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\)
\(\sqrt[2n]{x^{2m}} = \sqrt[n]{|x|^m}\)
gdy \(m=n=1\) to \(\sqrt{x^2} = |x|\)

Tożsamość Eulera
\((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2)( y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2) = (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1 +x_3y_4 -x_4y_3)^2 + (x_1y_3 - x_3y_1 + x_4y_2 - x_2y_4)^2 + (x_1y_4 - x_4y_1 + x_2y_3 - x_3y_2)^2\)
gdy \(x_3 = x_4 = y_3= y_4 = 0\) to:
Fibonacci
\((x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) = (x_1y_1 + x_2y_2)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2\)
gdy \(x_1 = x_2 = 1 \ y_1 = a \ y_2=b\) jn.
jeśli \(n=a^2 + b^2\) to \(2n = (a+b)^2 + (a - b)^2\)


Rozkłady różnicy potęg
Iloczyn - kwadrat
\(4ab = (a+b)^2 - (a - b)^2\)
gdy \(b=1 \ a=k\) jn.

\(k = (\frac{k + 1}{2})^2 - (\frac{k - 1}{2})^2\)
\(k =(\frac{kn^2+1}{2n})^2 - (\frac{kn^2 - 1}{2n})^2\)
gdy \(n=1\) jw.

oraz
\(\begin{cases} (x - 2y)^2 - 2(x - y)^2 = - (x^2 - 2y^2)\\(3x + 4y)^2 - 2(2x + 3y)^2 = x^2 - 2y^2\\(x^2 + zy^2)^2 - z(xy)^2 = (x^2 - zy^2)^2 \end{cases}\)


Niejednoznaczność rozkładu

\(\begin{cases} 2k - 1=(2l^2 - k)^2 + (2l)^2 - (2l^2 - k+1)^2\\2k= (2l^2 + 2l -k)^2 +(2l +1)^2 - (2l^2 + 2l - k +1)^2 \end{cases}\)

\(x^2 = (\frac{x(k^2 - 1)}{k^2 +1})^2 +(\frac{2xk}{k^2 +1})^2\)


Rozkłady - ogólnie
\(a^{2n} - b^{2n} = (a - b)(a^{2n-1} + a^{2n-2}b... + ab^{2n-1} + b^{2n-1})\)
\(a^{2n +1} \pm b^{2n + 1} = (a \pm b)(a^{2n} \mp a^{2n - 1}b + a^{2n-2}b^2 \mp .... \mp ab^{2n - 1} + b^{2n})\)
ale \(a^{2n} + b^{2n}\) brak rozkładu
np.
\(\begin{cases} a^3 - b^3=(a - b)(a^2 + ab + b^2) \\a^3 + b^3= (a+b)( a^2 - ab + b^2)\end{cases}\)

oraz
\(\\(a +b +c) ^3 - (a^3 + b^3 + c^3) = 3(a+b)(b+c)(c+a)\)

i: sześcian - różnicą i sumą kwadratów
\(\begin{cases} (x(x^2 - 3y^2))^2 + (y(3x^2 - y^2))^2=(x^2 + y^2)^3 \\(x(x^2 + 3y^2))^2 - y(3x^2 + y^2)^2= (x^2 - y^2)^3 \end{cases}\)


Tożsamość trójmianu
\((x^2 + axy + by^2)(t^2 + atu + bu^2)= r^2 + ars + bs^2\)
gdy \(\begin{cases} r = xt - byu \\s= yt + xu + ayu\end{cases}\)

Pitagoras
\((x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2\)

\(ax^2 +bx+c = a( (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})\) gdy \(a \neq 0\)


Zmienne o zerowej sumie
\(\begin{cases} a^3+ b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)( a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \\ 2(a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2) - (a^4 + b^4 +c^4)= (a+ b+c)(a+b - c)(a+c - b)(b+c - a) \end{cases}\)

tj.
Jeśli \(a + b + c =0\) to:
\(\begin{cases} a^3 + b^3 +c^3 = 3abc \\2(a^4 + b^4 +c^4)=(a^2 + b^2 +c^2)^2 \end{cases}\)


Tożsamości z cechą i z NWD i NWW
\(\lfloor x + \frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor\)

\(\begin{cases} \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor }{n} \rfloor = \lfloor \frac{x}{n} \rfloor\\\lfloor \frac{ \lfloor \frac{n}{m} \rfloor }{k} \rfloor =\lfloor \frac{n}{mk} \rfloor \end{cases} \end{cases}\)

\(\lfloor -x \rfloor = -\lfloor x \rfloor - 1\) gdy \(x \notin Z\)

\(\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n\)


\(NWD(a, b)NWW(a, b) = ab\)
\(abc=NWD(a, b,c)NWW(ab, ac, bc)\)

algorytm Euklidesa
\(NWD(a, b) = NWD(b, a - b)\) gdy \(a>b\)



Tożsamości a bikwadraty
Tożsamość Lucasa
\(6( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) ^2 = (x_1 + x_2)^4 + (x_1 - x_2)^4 + (x_1 + x_3)^4 + (x_1 - x_3)^4 + (x_1 + x_4)^4 + (x_1 - x_4)^4 + (x_2 + x_3)^4 + (x_2 - x_3)^4 + (x_2 + x_4)^4 + (x_2 - x_4)^4 + (x_3 + x_4)^4 + (x_3 - x_4)^4\)

Catalan
\(( x^2 + y^2 + z^2)^3 = x^2(3z^2 - x^2 - y^2)^2 + y^2(3z^2 - x^2 - y^2)^2 + z^2(z^2 - 3x^2 - 3y^2)^2\)


Ferrari
\((a^2 +2ac - 2bc - b^2)^4 + (b^2 - 2ab - 2ac - c^2)^4 + (c^2 +2ab + 2bc - a^2)^4 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab + ac + bc)^4\)

\((a^3b(b^4 - 1)^2)^4 - (a^3(b^4 - 1)^2)^4 = (a^4(b^4 - 1)^3)^3\)
\(2(3x^2 + y^2)^4 = (3x^2 + 2xy - y^2)^4 + (3x^2 - 2xy - y^2)^4 + (4xy)^4\)
\((a^2 - 2ac^3 - 4a^2d^4)^2 + (2ac)^3 + (2ad)^4 = (a^2 + 2ac^3 + 4a^2d^4)^2\)


Tożsamości “ złożone” - przykłady
Chrystal
\(\frac{(b-c)^2 + (b+c)^2+ 2(b^2 - c^2) }{(b^4 - 2b^2c^2 + c^4)( \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{2}{b^2 - c^2} + \frac{1}{(b+c)^2} )} = 1\) gdy \(b \neq c\)

\((y + z)^2(y^2 + xz)(z^2 + xy) + (x + y)^2(x^2 + yz)(y^2 + xz) + (x +z)^2(x^2 + yz)(z^2 + xy) - 6(x^2+ yz)(y^2+ xz)(z^2+xy)= yz(y^2 - z^2)^2 + xz(x^2 - z^2)^2 + xy(x^2 - y^2)^2 + (y-z)^2(z - x)^2(x - y)^2\)

Degen


Tożsamości “ inne”
S. Germain
\(x^4+ 4 =(x^2 + 2x +2)(x^2 - 2x +2)\)

\((x + 1)^2 +(x+4)^2 - (x+2)^2 - (x+3)^2 = 4\)
\((6x^3 + 1)^3 - (6x^2)^3 - (6x^3 - 1)^3 =2\)
\(6x = (x + 1)^3 + (x - 1)^3 + (- x)^3+ (- x)^3\)

Candido
\((x^2 + y^2 + (x+y)^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + (x+y)^4)\)

\(b - \sqrt{b^2 - 1}= \frac{1}{ b + \sqrt{b^2 - 1}}\)

P. Erdös
\(\frac{4}{2m} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1}+ \frac{1}{m(m+1)}\)

\(\frac{1}{x}= \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2x^2 + x}+ \frac{1}{2x^2 + 3x + 1}\)

\(x^{m+n} + \frac{1}{x^{m+n}} = (x^{m} + \frac{1}{x^{m}})( x^{n} + \frac{1}{x^{n}}) - (x^{m - n} + \frac{1}{x^{m - n}})\)


Formuły -uogólnienia

Newton
\((a + b)^n = a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b +...{n \choose k}a^{n-k}b^k+ ...+ {n \choose n-1}ab^{n-1} + b^n\)
\((a_1 + \ldots + a_k)^n = \sum_{j_1,j_2,\ldots, j_k} \frac{n!}{j_1!j_2!\ldots j_k!} a_1^{j_1} \ldots a_k^{j_k}\), gdzie \(j_1 + \ldots + j_k=n\)
np. gdy \(n=3\) to \((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3a^2b + 3ab^2+ 3b^2c + 3cb^2+ 3c^2a + 3ca^2 + 6abc\)
gdy \(c=0\) jn.
\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

J. Bernoulli tożsamość sumacyjna
\(1^k + 2^k + ... + (n-1)^k +n^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} {k+1 \choose j} B_j n^{k+1 - j}\)
gdy \(\sum_{j=0}^{i}{i+1 \choose j} B_j=0 \\B_0=0\)
tj. \(B_1= - \frac{1}{2} \ B_2= \frac{1}{6} \ B_3 =0\) itd.

tożsamość sum harmonicznych
\(H_n = 1 + \frac{H_0 +H_1+...+H_{n-1}}{n}\)
dla \(H_n = 1 +\frac{1}{2} + ... +\frac{1}{n} \\ H_0=0\)

Polezzi
\(NWD(m, n) = 2 \sum_{j=1}^{m - 1} \lfloor \frac{jn}{m} \rfloor + m + n - mn\)

Hermite
\(\lfloor nx \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \frac{1}{n} \rfloor + ... + \lfloor x + \frac{n - 1}{n} \rfloor\)

Tożsamości ciąg - suma - iloczyn
\(a_m = a_0 + (a_1 - a_0) + ... + (a_m - a_{m - 1})\)
\(s_n = \sum_{j=0}^{n} a_j = s_0 \frac{s_1}{s_0}... \frac{s_n}{s_{n - 1}}=s_0 \prod_{j=0}^{n-1} (1 + \frac{a_{j+1}}{a_0 + ... +a_j})\) o ile \(s_j \neq 0\)


Tożsamość Abela
\(b_1c_1 + b_2c_2 +... + b_{n -1}c_{n - 1} + b_nc_n = b_1(c_1 - c_2) + ... + (b_1 +...+ b_j)(c_j - c_{j+1}) + ....+ (b_1 +... + b_n)c_n\)
np. gdy \(n=3\) to
\(b_1c_1 + b_2c_2 +b_3c_3 = b_1(c_1 - c_2) + (b_1 + b_2 )(c_2 - c_3) + (b_1 + b_2+ b_3 )c_3\)


Czebyszew \(n=3\)
\((a_1+ a_2 +a_3)(b_1+ b_2 +b_3)=3(a_1b_1 + a_2b_2 +a_3c_3) - ((a_1 - a_2)(b_1 - b_2) + (a_1 - a_3)(b_1 - b_3) + (a_2 - a_3)(b_2 - b_3) )\)

Tożsamość Lagrange’a
\((\sum_{j=1}^{n} a_{j}b_{j})^2 = (\sum_{j=1}^{n} a_{j}^2) (\sum_{j=1}^{n} b_{j}^2) - \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} (a_ib_{j} - a_jb_i)^2\)

jest to Cauchy- Binet gdy \(a_j = c_j \ b_j = d_j\) jw.
\((\sum_{j=1}^{n} a_{j}c_{j})(\sum_{j=1}^{n} a_{j}c_{j}) - (\sum_{j=1}^{n} a_{j}d_{j})(\sum_{j=1}^{n} b_{j}c_{j}) = \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} (a_ib_{j} - a_jb_i)( c_id_{j} - c_jd_i)\)

gdy \(n=2\) to \((a_1c_1+ a_2c_2)(b_1d_1 + b_2d_2) - (b_1c_1 + b_2c_2)(a_1d_1 + a_2d_2) = (a_1b_2 - a_2b_1)(c_1d_2 - c_2d_1)\)

Ukryta treść:    
..........................................................................................................................
t o b e c o n t i n u e d....?!?
uwagi, ulepszenia, błędy > etc : > priv (pw)
Wszelkie ominięte tu tożsamości > zgłaszać na priv (pw)

ODPOWIEDZ