Matematyka.pl

Znowu mój temat. I kolejny problem. Tym razem z następującym szeregiem:

Zbadać czy następujący szereg jest zbieżny warunkowo:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ \left[ 3 - \left( - 1 \right) ^ n \right] \cos{\left(n - 1 \right)} \pi}{2n}}\)

No i grzecznie sprawdzam najpierw zbieżność bezwzględną. I już się zacinam... Kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, kryterium porównawcze również, szereg spełnia warunek konieczny. Próbowałem rozpisać sobie ten szereg na dwa szeregi (wymnażając nawias), ale nic z tego... Mogę prosić o wskazówkę?

\(\displaystyle{ \cos k\pi=(-1)^k}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych.

Hmm, problem jest taki że ja nie wiem czy to \(\displaystyle{ \pi}\) jest wewnątrz cosinusa czy nie...

No to zróbmy na 2 sposoby ^^

Pierwszy: zakładamy że to \(\displaystyle{ \pi}\) jest wewnątrz cosinusa:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \left| \frac{ \left[ 3 - \left( - 1 \right) ^ n \right] \cos{\left(n - 1 \right)} \pi}{2n}\right| = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 - \left( - 1 \right) ^ n}{2n} \le \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{2n}}\)
Czyli szereg nie jest zbieżny bezwzględnie. Co ze zbieżnością warunkową? Jak już szw1710 zauważył:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ \left[ 3 - \left( - 1 \right) ^ n \right] \cos{\left(n - 1 \right)} \pi}{2n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ \left[ 3 - \left( - 1 \right) ^ n \right] \left( -1 \right)^{n - 1} }{2n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ \left[ 3 - \left( - 1 \right) ^ {n + 1} \right] \left( -1 \right)^n }{2\left( n + 1\right) }}\)

I teraz moje pytanie: czy jeżeli twierdzenie wymaga ciągu nierosnącego, to czy ciąg niemonotoniczny się kwalifikuje? Jeżeli tak - możemy łatwo załatwić sprawę kryterium Leibniza. Jeżeli nie - nie mam pomysłu: Leibniz odpada (nie mamy ciągu nierosnącego), Abel odpada, Dirichlet odpada (ciąg sum częściowych nie jest ograniczony).

No i dochodzi do tego przypadek drugi: Co jeżeli to \(\displaystyle{ \pi}\) nie jest częścią cosinusa?

Pozdrawiam!

Na 100% \(\displaystyle{ \pi}\) jest wewnątrz cosinusa.