Matematyka.pl

"Wyznacz krzywe dla których odcinek stycznej zawarty pomiędzy osiami współrzędnych ma stałą długość równą \(\displaystyle{ d}\)"

Mam więc tak:



Musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ x_p^2+t_z^2=d^2}\)

Równanie stycznej:

\(\displaystyle{ x=x_0+x_0'(t-t_0)}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_p=x_0-t_0x_0' \\ \\ t_z=\dfrac{t_0x_0'-x_0}{x_0'}\end{cases}}\)

Dostaję równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ (x-tx')^2+\frac{(x-tx')^2}{x'^2}=d^2}\)

Którego rozwiązać nie potrafię. Pomoże ktoś?

Wyciągamy przed nawias i mamy

\(\displaystyle{ (x-tx')^2\left(\frac{x'^2+1}{x'^2}\right) = d^2}\)

Dalej wyciągamy pierwiastek i wyliczamy \(\displaystyle{ x}\) dostając równania

\(\displaystyle{ x = tx'\pm \frac{dx'}{\sqrt{1+x'^2}}}\)

Każde z tych równań jest . Jego rozwiązaniem jest rodzina prostych i jej obwiednia i ona właśnie będzie rozwiązaniem. Będzie to astroida.

Dzięki o to chodziło