Matematyka.pl

Wyznaczyć potencjał pola \(\displaystyle{ \vec{F}=( \frac{1}{y}, \frac{2y-x}{y^{2}})}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ y>0}\).

Jak sprawdzić czy to pole w ogóle jest potencjalne? Tzn. znany jest warunek, który pole musi spełnić, by było potencjalne:

\(\displaystyle{ rot\vec{F}=\nabla \times \vec{F} = \vec{0}}\)

Zagadką jest dla mnie jak to rozpisać, gdy nie mam tu trzeciego wymiaru wektora. Po prostu przepisać pierwszą kolumnę jeszcze raz czy może trzeci wymiar wektora jest zerowy? Pierwszy przypadek wydaje mi się sensowniejszy, wówczas jednak wychodzi "0", co oznaczałoby, że jest potencjał. Dobrze rozumiem?

Jeśli tak, to jakaś podpowiedź, co dalej?

Możesz to zapisać tak: \(\displaystyle{ rot \vec{F}= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\ \frac{ \partial }{ \partial x} &\frac{ \partial }{ \partial y}&\frac{ \partial }{ \partial x}\\ \frac{1}{y}& \frac{2y-x}{ y^{2} } &0\end{array}\right]}\). Jeśli \(\displaystyle{ rot \vec{F}=0}\) to pole ma potencjał, musisz go tylko wyliczyć.

O to mi chodziło, nie wiedziałem czy tak można, dzięki.-- 20 cze 2013, o 01:36 --O ile na 100% można zawrzeć dodatkowe zero, to potencjał istnieje (po rozwiązaniu powyższego wychodzi [0,0,0]). Poza tym chyba wkradł się drobny błąd, w trzeciej kolumnie powinno być chyba \(\displaystyle{ \frac{\sigma}{\sigma z}}\).

Tak, w 3 kolumnie 2 linii powinno być \(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z}}\). Zgadza się, rotacja jest równa zero więc warunek konieczny na istnienie potencjału jest spełniony, lecz nie zawsze jest to warunek wystarczający.