Matematyka.pl

Szukam jakiegoś wzoru, który opisałby tę zależność:
początkowo mamy \(\displaystyle{ 0,5}\), bierzemy z tego \(\displaystyle{ \frac14}\) po czym znów dodajemy \(\displaystyle{ 0,5}\) i bierzemy z tego \(\displaystyle{ \frac14}\), dodajemy \(\displaystyle{ 0,5}\) i tak dalej. Chcę się dowiedzieć po ilu takich cyklach osiągnę jakąś konkretną wartość. Jak to opisać?

Opisz porządnie proces tworzenia kolejnych liczb, bo nie wiadomo, czy najpierw dodajemy, czy może najpierw bierzemy ćwiartkę w każdym przypadku.

Zagadnienie wygląda na równanie rekurencyjne pierwszego stopnia.

okej, postaram się dokładniej opisać:
na start mamy \(\displaystyle{ 0,5}\) mnożymy to razy \(\displaystyle{ \frac14}\) i otrzymujemy jakąś liczbę. Do tej otrzymanej liczby dodajemy \(\displaystyle{ 0,5}\) a to co otrzymamy mnożymy razy \(\displaystyle{ \frac14}\) itd. - teraz jest ok?

Czyli w kroku zerowym mamy

\(\displaystyle{ a_0=\frac{1}{2}}\)

potem krok pierwszy to mnożenie

\(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{4}a_0=\frac{1}{8}}\)

Dwie kolejne operacje zbieram w jedno, skąd

\(\displaystyle{ a_2=\frac{1}{4}\left(a_1+\frac{1}{2}\right)}\)

i ogólnie, po wykonaniu dwóch operacji po \(\displaystyle{ n}\) krokach jest

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_n+\frac{1}{2}\right)}\)

Jak pisałem - rekurencja liniowa pierwszego rzędu.

Przykład podobny jest tutaj

Dość łatwo pokazać, że ciąg jest zbieżny jako rosnący i ograniczony z góry, tak więc wartości będą coraz bliższe granicy.

"Dość łatwo pokazać"?

Ogólnie rozumiem to, co napisał yorgin, ale nadal nie za bardzo wiem, jak mogę coś z tego obliczyć, bo zawszę muszę znać wyraz poprzedni, a to jest równoznaczne z liczeniem na piechotę.

Proszę o jakieś wytłumaczenie tego na "chłopski rozum", bo coś czuję, że moja licealna matma, może mi nie pomóc.

bryk pisze:Dość łatwo pokazać, że ciąg jest zbieżny jako rosnący i ograniczony z góry,

Naprawdę uważasz, że ten ciąg jest rosnący?

JK

naciunia7 pisze: Ogólnie rozumiem to, co napisał yorgin, ale nadal nie za bardzo wiem, jak mogę coś z tego obliczyć, bo zawszę muszę znać wyraz poprzedni, a to jest równoznaczne z liczeniem na piechotę.

To zdanie jest sprzeczne. Skoro rozumiesz to, co napisałem, to znaczy też, ze zajrzałeś do tematu, do którego podałem Ci link. Tam był wzór ogólny dla takiego ciągu. Natomiast pisanie o obliczeniach na piechotę oznacza, że tego wzoru nie przeczytałeś/zaaplikowałeś do swojego problemu.

Licealna matma do tego wystarczy, gdyż sam wzór bierze się ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego oraz ewentualnej indukcji.

yorgin pisze:Licealna matma do tego wystarczy, gdyż sam wzór bierze się ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego oraz ewentualnej indukcji.

Optymista... Indukcji już nie ma w wymaganiach szkolnych.

JK

Fakt, nie ma, co nie oznacza, że autor jej nie zna.

W tym pliku jest trochę informacji o rekurencji pierwszego rzędu:

Niestety autorka indukcji nie zna, ale pozna

Już wszystko rozumiem, mało zagłębiłam się w podany link, przyznaję, ale początkowo nie widziałam związku..
Swoją drogą w tym "rozdziale 3" bardzo przystępnie, jak dla mnie to wytłumaczyli.

Jeszcze raz dziękuję za pomoc.