Matematyka.pl

W urnie znajdują się 2n kul białych i 1 czerwona . Losujemy n razy po jednej kuli ze zwracaniem.
Niech \(\displaystyle{ X_{n}}\) oznacza liczbę wyciągniętych kul czerwonych (ile razy wyciągnięto kulę czerwoną).
Wyznaczyć:
a) \(\displaystyle{ EX _{n}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty }EX _{n}}\)

Umiesz policzyć wartość oczekiwaną przy jednym takim losowaniu?

O ile się nie mylę, to liczba wylosowanych kul koloru czerwonego to nic innego jak liczba sukcesów w procesie Bernoulliego. W takim układzie \(\displaystyle{ X_{n} \sim Bin(n,p)}\), a wiemy jaka jest wartość oczekiwana takiego rozkładu. U nas \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2n+1}}\).

Nom to wartość oczekiwana, to \(\displaystyle{ np=\frac{n}{2n+1}}\).
A granica, to już chyba żaden problem.