Matematyka.pl

Bryłami obrotowymu zajmował się już Archimedes. Najbardziej dumny był ze swego odkrycia, że stosunek objętości kuli do objętości walca opisanego na tej kuli wynosi 2:3.

a) Korzystając z poznanych wzorów, sprawdź, że Archimedes prawidłowo ustalił stosunek objętości brył opisanych w ramce [patrz-> cytat]
b) Porównaj pole powierzchni bocznej walca opisanego na kuli z powierzchnią tej kuli.

\(\displaystyle{ V_1}\)-objętośc walca
\(\displaystyle{ V_2}\)-objętość kuli
Wysokośc walca jest równa 2* promien, a promien podstawy jest równy promieniowu kuli więc
\(\displaystyle{ V_1=\pi r^2*2r\\
V_1=2\pi r^3\\
V_2=\frac{4}{3}\pi r^3}\)
A zatem stosunek jest równy:
\(\displaystyle{ k=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}\\
k=\frac{2}{3}}\)

[ Dodano: 10 Kwiecień 2007, 14:02 ]
b)
\(\displaystyle{ P_1}\)- pole powierzchni bocznej walca
\(\displaystyle{ P_2}\)- pole powierzchni bocznej kuli

\(\displaystyle{ P_1=2\pi rh\\
h=2r\\
P_1=4\pi r^2\\
P_2=4\pi r^2}\)
Więc pola te są równe
\(\displaystyle{ P_1=P_2}\)