Związek transformaty Fouriera z zasadą nieoznaczoności

[Grypho]

Na wykładzie miałem podawane coś takiego - bardzo ciekawy związek T.F z zasadą heisenberga. Niestety nie zapisałem tego. Czy ktoś może coś podpowiedzieć?

[yorgin]

Jest takie twierdzenie:

Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją klasy Schwarza taką, że

\(\displaystyle{ \int_\RR |f(x)|^2dx=1}\)

to

\(\displaystyle{ \left(\int_\RR x^2|f(x)|^2dx\right)\left(\int_\RR \xi^2|\widehat{f}(\xi)|^2d\xi\right)\geq \frac{C}{4\pi}}\)

gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną stałą w zależności od tego, jaką stałą przyjmujemy przy definicji transformaty Fouriera. Z tego wynika również prawdziwiość wariacji:

\(\displaystyle{ \left(\int_\RR (x-x_0)^2|f(x)|^2dx\right)\left(\int_\RR (\xi-\xi_0)^2|\widehat{f}(\xi)|^2d\xi\right)\geq \frac{C}{4\pi}}\)

[Grypho]

I teraz im większy jest pierwszy nawias, tym mniejszy musi być drugi, tak?

[yorgin]

Nie. Tu nie ma równości ani nierówności \(\displaystyle{ \leq}\) tylko \(\displaystyle{ \geq}\). Iloczyn obu wartości ma być większy od stałej. Tyle. Obie wartości mogą być bardzo duże, ale nie mogą być jednocześnie małe.

[Grypho]

I to jest, zdaje się, ten łącznik pomiędzy transformatą a zasadą nieoznaczoności?

[yorgin]

Tak.

Wymienione przeze mnie twierdzenia to matematyczna zasada nieoznaczoności.

[Spektralny]

Warto nadmienić, że zachodzi także wersja zasady nieoznaczoności dla skończonych grup abelowych.

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie skończoną grupą abelową. Transformatą Fouriera funkcji \(\displaystyle{ f\colon G\to \mathbb{C}}\) nazywamy funkcję \(\displaystyle{ \hat{f}\colon \hat{G}\to \mathbb{C}}\) daną wzorem

\(\displaystyle{ \hat{f}(\alpha) = \sum_{g\in G}f(g)\alpha(-g)\;\;\;(\alpha\in \hat{G}),}\)

gdzie \(\displaystyle{ \hat{G}}\) oznacza grupę dualną do \(\displaystyle{ G}\) (czyli wszystkie homomorfizmy \(\displaystyle{ \alpha\colon G\to \mathbb{C}^\cdot}\)).

Zachodzi następująca wersja zasady nieoznacznoności:

\(\displaystyle{ |G|\leqslant |\mbox{supp}\,f|\cdot |\mbox{supp}\,\hat{f}|.}\)

T. Matolcsi and J. Szücs, Intersections des mesures spectrales conjugees, C. R. Acad. Sci. Paris 277 (1973), 841-843.