Matematyka.pl

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n>2}\) nie istnieją liczby n-cyfrowe, które po wykreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się całkowitą liczbę razy.

Próbowałem to zacząć, ale nie bardzo wiem, jak. Póki co napisałem to:

Liczbę n-cyfrową można zapisać w takiej postaci:

\(\displaystyle{ S _{1} = a \cdot 10^{n}+b \cdot 10^{n-1}+...+w \cdot 10^{1}+z \cdot 10^{0}}\)

Po wykreśleniu ostatniej cyfry otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S _{2} = a \cdot 10^{n-1}+b \cdot 10^{n-2}+...+w \cdot 10^{0}}\)

Nie wiem teraz, jak udowodnić, że liczba powstała w wyniku podzielenia tych liczb jest liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n=2}\).
No i nie wiem, czy od tego, co przedstawiłem wyżej, należałoby zacząć.
Z góry dzięki za pomoc.

Skreślenie ostatniej cyfry z liczby \(\displaystyle{ x}\) oznacza wykonanie działania \(\displaystyle{ \left(x-(x\mod 10)\right)/10}\).

Racja.
Problem tylko w tym, że nie do końca rozumiem, jak miałbym za pomocą tego udowodnić swoje twierdzenie...

O ile dobrze zrozumiałem to, czego chcesz dowieść, to to twierdzenie nie jest prawdziwe. Np. \(\displaystyle{ 1000}\) jest liczbą czterocyfrową, która po skreśleniu ostatniej cyfry staje się \(\displaystyle{ 100}\), czyli liczbą dziesięciokrotnie mniejszą, tak więc zmniejszyła się całkowitą liczbę razy.

Przepraszam, zapomniałem dopisać chyba najważniejszego - liczba nie może kończyć się zerem

nie wiem czy to jest dobrze ale doszedłem do czegoś takiego:
niech \(\displaystyle{ y}\) oznacza liczbe ktora otrzymamy po usunieciu ostatniej cyfry liczby \(\displaystyle{ N}\), niech \(\displaystyle{ x}\) bedzie ta ostatnia cyfra
czyli \(\displaystyle{ N=10 \cdot y+x}\)
\(\displaystyle{ \frac{N}{y}= \frac{10 \cdot y+x}{y}=10+ \frac{x}{y}}\)
jezeli liczba cyfr \(\displaystyle{ N}\) jest wieksza do \(\displaystyle{ 2}\) to \(\displaystyle{ y>x}\) a wiec wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) nie moze byc liczba calkowita (oczywiscie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) sa wieksze od \(\displaystyle{ 0}\))

miko03, wygląda poprawnie i dość elegancko.