Matematyka.pl

Ile jest liczb naturalnych (bez zera) niewiększych od 3000, które nie są podzielne przez 4,6,12?

\(\displaystyle{ 3000 - \frac{3000}{4} - \frac{3000}{6} - \frac{3000}{12} + \frac{3000}{\mathrm{NWW}(4, 6)} + \frac{3000}{\mathrm{NWW}(4, 12)} + \frac{3000}{\mathrm{NWW}(6, 12)} - \frac{3000}{\mathrm{NWW}(4,6, 12)} =\\
= 3000 - \frac{3000}{4} - \frac{3000}{6} + \frac{3000}{12} = 2000}\)

edit głupi błąd, teraz powinno śmigać

max, a czy na rozwiązanie zadania nie ma wpływu fakt, że \(\displaystyle{ NWW(4,6)=NWW(4,12)=NWW(6,12)}\)?

Oczywiście, że ma... już poprawione, dzięki *Kasiu

To jeszcze tak dla formalności skąd to się wzięło:

Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór \(\displaystyle{ 3000}\) początkowych liczb naturalnych. \(\displaystyle{ B}\) zbiór liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 4}\), \(\displaystyle{ C}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) a \(\displaystyle{ D}\) - przez \(\displaystyle{ 12}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ |A \setminus (B \cup C \cup D)| =\\
= |A \setminus (A\cap(B \cup C \cup D))| =\\
= |A \setminus ((A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D))| = \\
= |A| - |(A\cap B) \cup (A\cap C)\cup (A\cap D)| =\\
= |A| - (|A\cap B| + |A\cap C| + |A\cap D|- |(A \cap B \cap C)| - |A\cap B \cap D| - |A\cap C \cap D| + |A\cap B \cap C \cap D|) =\\
= 3000 - \left(\frac{3000}{4} + \frac{3000}{6} + \frac{3000}{12} - \frac{3000}{\mathrm{NWW}(4, 6)} - \frac{3000}{\mathrm{NWW}(4, 12)} - \frac{3000}{\mathrm{NWW}(6,12)} + \frac{3000}{\mathrm{NWW}(4, 6, 12)}\right) = \\
= 3000 - \frac{3000}{4} - \frac{3000}{6} + \frac{3000}{12} = 2000}\)

Pierwsze dwie równości wynikają z praw rachunku zbiorów (druga to rozdzielność iloczynu względem sumy) trzecia zachodzi, gdyż odejmowany zbiór jest skończony i zawiera się w zbiorze od którego odejmujemy, czwarta korzysta z zasady , piąta jest konsekwencją przyjętych w założeniach definicji zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) a ostatnie dwie nie wymagają chyba komentarza.