Wykazać, że ciąg jest rosnący

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Andrzejmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 19 lis 2006, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 13 razy

Wykazać, że ciąg jest rosnący

Post autor: Andrzejmm » 9 kwie 2007, o 15:45

Wykaż, że przy każdej wartości parametru t ciąg\(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący.

\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}=t\\a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}^{2}+1\;\;\;dla\;n\geqslant{1}\end{cases}}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Wykazać, że ciąg jest rosnący

Post autor: Lorek » 10 kwie 2007, o 18:54

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a_n^2+1-a_n=\frac{1}{2}(a_n-1)^2+\frac{1}{2}>0}\)

Awatar użytkownika
Espeqer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 28 lis 2013, o 20:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-a
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazać, że ciąg jest rosnący

Post autor: Espeqer » 2 kwie 2014, o 19:54

\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}=t\\a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}^{2}+1\;\;\;dla\;n\geqslant{1}\end{cases}}\)

Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)

\(\displaystyle{ a_2= \frac{1}{2}t^2+1}\)

\(\displaystyle{ a_{2}-a_{1}=\frac{1}{2}t^2+1-t= \frac{1}{2}(t^2-2t+2)>0}\)

W razie czego: \(\displaystyle{ a>0}\) (współczynnik przy najwyższej potędze paraboli jest dodatni) oraz \(\displaystyle{ \Delta<0}\).

ODPOWIEDZ