Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \cos \alpha \cdot \sqrt{1+\tg ^{2} \alpha } + \sin \alpha \cdot \sqrt{1+\ctg ^{2} \alpha }}\)
Wsadziłem cosinus i sinus pod pierwiastki, wyrażenia się skróciły i wyszło (po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej) \(\displaystyle{ \sqrt{1} + \sqrt{1}=2}\), a powinny wyjść trzy przypadki wyniku:2,0,-2. Kto mi powie gdzie jest błąd? Byłbym wdzięczny.

Nie wciągaj pod pierwiastek, tylko zredukuj wyrażenia pod pierwiastkiem i pamiętaj o zależości \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\).

Pamiętaj ze \(\displaystyle{ \sqrt{1} =1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\).

Faktycznie, teraz się zgadza, ale nadal nie wiem czemu nie można włączyć sinusa i cosinusa pod nawias. Przecież wtedy wychodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{\cos ^{2} \alpha \cdot \left( 1+\tg ^{2} \alpha \right) } + \sqrt{\sin ^{2} \alpha \cdot \left( 1+\ctg ^{2} \alpha \right) } = \sqrt{\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \cdot \frac{\sin ^{2} \alpha }{\cos ^{2} \alpha } }+\sqrt{\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \frac{\cos ^{2} \alpha }{\sin ^{2} \alpha } }= \sqrt{\cos ^{2} \alpha +\sin ^{2} \alpha } + \sqrt{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha }= \sqrt{1} + \sqrt{1}=2}\)
i zastanawiam się gdzie jest błąd rozumowania.
Edit:Vether wszystko wyjaśnił, jak mogłem zapomnieć tak banalnej rzeczy.
Problem rozwiązany, dzięki Wam za pomoc!

EDIT2
Zauważyłem jednak, że ten sposób jest nieco gorszy bo są 3 przypadki wyniku, jednakże pierwszym sposobem można wyznaczyć dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi konkretny przypadek i jest, można powiedzieć "dokładniejszy".

Vether nie do końca ma rację. \(\displaystyle{ \sqrt{1} = 1}\) ze względu na to, że funkcja pierwiastkowa przyjmuje wartości zawsze dodatnie. Można też to udowodnić prostą zależnością wspomnianą wyżej :
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = \sqrt{1^2} = |1| = 1}\).
Prawidłowe tłumaczenie przedstawił Ci steal - wciągając pod pierwiastek "gubisz" znaki.

Oj... :/ \(\displaystyle{ racja \in \cos 90^\circ}\) Trochę się pośpieszyłem:/

funkcja pierwiastkowa przyjmuje wartości zawsze dodatnie

A nie nieujemne? Teraz w końcu się połapałem, tylko skąd wynika te "gubienie" się znaków? Od czego to zależy?

Gubienie znaków wynika z faktu, że cosinus może być ujemny, a wciągając go pod pierwiastek ten minus ginie, bo pierwiastek zwraca wartości nieujemne.
To tak jakby zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ -2 \sqrt{3}= \sqrt{\left( -2\right) ^{2} \cdot 3 } = \sqrt{12}=2 \sqrt{3}}\)

calmosc, jeśli chodzi o szczegóły to tak, nieujemne. Zero oczywiście leży zarówno w dziedzinie, jak i w zbiorze wartości tej funkcji.