Matematyka.pl

Od jakiegoś czasu nurtuje mnie pewien problem. Jestem laikiem w temacie, mam bardzo mgliste pojęcie o zbiorach nieskończonych i dowodzeniu równoliczności tych zbiorów. A konkretnie chodzi o to, że nie rozumiem jak interpretować fakt, że między dwoma zbiorami nieskończonymi może istnieć zarówno bijekcja jak i iniekcja nie będąca bijekcją. Weźmy zbiór liczb naturalnych parzystych \(\displaystyle{ X}\) i zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) - przepraszam, nie wiem, jak wpisać to kozackie \(\displaystyle{ \NN}\) z podwójną kreską. Istnieje bijekcja między tymi zbiorami - każdej liczbie \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) przyporządkowujemy liczbę \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). Ale istnieje też między tymi zbiorami iniekcja nie będąca bijekcją - np. każdej liczbie \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) przyporządkowujemy \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), albo i jakoś inaczej, możliwości przyporządkowania jest nieskończenie wiele.

A więc pierwsza rzecz to nie wiem, jak rozumieć ten fakt, jak to interpretować. Jeśli ktoś twierdziłby o dwóch zbiorach skończonych \(\displaystyle{ A, B}\), że istnieje między nimi zarówno bijekcja, jak i iniekcja nie będąca bijekcją to twierdziłby coś wewnętrznie sprzecznego. Dlaczego ze zbiorami nieskończonymi jest inaczej? Druga rzecz to czy pokazanie, że istnieje bijekcja między zbiorami jest wystarczające żeby pokazać, że zbiory te są równoliczne? Zgaduję, że tak, ale dlaczego? Istnienie iniekcji nie będącej bijekcją raczej wskazuje, że zbiory nie są równoliczne. Dlaczego więc "olewamy" fakt istnienia injekcji nie będącej bijekcją i uznajemy, że skoro jest bijekcja to zbiory są równoliczne? Trzecia rzecz to pytanie - kiedy pokazanie, że między zbiorami \(\displaystyle{ X, Y}\) istnieje iniekcja nie będąca bijekcją jest pokazaniem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są równoliczne? Wystarczy, że są skończone? Jeśli tak to dlaczego dowód "działający" dla skończonych jest niepoprawny dla nieskończonych?

Dziękuję za każdą odpowiedź, która pozwoli mi jakoś dojść z tym do ładu (albo wskazanie, gdzie takie problemy były już omawiane - forum jest bardzo rozbudowane i przejrzałem tylko niewielką jego część w poszukiwaniu odpowiedzi na moje pytania)

barko pisze:A więc pierwsza rzecz to nie wiem, jak rozumieć ten fakt, jak to interpretować. Jeśli ktoś twierdziłby o dwóch zbiorach skończonych \(\displaystyle{ A, B}\), że istnieje między nimi zarówno bijekcja, jak i iniekcja nie będąca bijekcją to twierdziłby coś wewnętrznie sprzecznego. Dlaczego ze zbiorami nieskończonymi jest inaczej?

Bo są nieskończone...
Pierwsza rzecz, którą trzeba zaakceptować, zajmując się zbiorami nieskończonymi to fakt, że naturalna intuicje, związane ze zbiorami skończonymi, ich zazwyczaj nie dotyczą.

barko pisze:Druga rzecz to czy pokazanie, że istnieje bijekcja między zbiorami jest wystarczające żeby pokazać, że zbiory te są równoliczne? Zgaduję, że tak, ale dlaczego?

Bo taka jest definicja równoliczności właśnie - istnienie bijekcji.

barko pisze: Istnienie iniekcji nie będącej bijekcją raczej wskazuje, że zbiory nie są równoliczne.

Dlaczego? Patrz: "Pierwsza rzecz, którą trzeba zaakceptować, zajmując się zbiorami nieskończonymi... "

barko pisze:Dlaczego więc "olewamy" fakt istnienia injekcji nie będącej bijekcją i uznajemy, że skoro jest bijekcja to zbiory są równoliczne?

My tego nie "uznajemy", my przyjmujemy taką definicję równoliczności, "olewanie" istnienia injekcji nie będącej bijekcją jest tylko tego konsekwencją.

barko pisze:Trzecia rzecz to pytanie - kiedy pokazanie, że między zbiorami \(\displaystyle{ X, Y}\) istnieje iniekcja nie będąca bijekcją jest pokazaniem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są równoliczne? Wystarczy, że są skończone?

Tylko dla zbiorów skończonych.

barko pisze:Jeśli tak to dlaczego dowód "działający" dla skończonych jest niepoprawny dla nieskończonych?

Patrz: "Pierwsza rzecz, którą trzeba zaakceptować, zajmując się zbiorami nieskończonymi... "

Zbiór skończony nie może być równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem, a nieskończony może.

JK

Post nr 11111

Dzięki serdeczne za odpowiedź

Jan Kraszewski pisze: Bo taka jest definicja równoliczności właśnie - istnienie bijekcji.

Ok, a co gdybyśmy powiedzieli, że zbiory są równoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów? Albo, powiedzmy, że zbiory są szrównoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów. Wtedy wydaje mi się, że pytanie czy dowolne zbiory równoliczne są też szrównoliczne nie jest trywialne. Bo istnienie bijekcji między zbiorami \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) dowodzi, że są równoliczne (taką mamy definicję), ale nie jest oczywiste, że dowodzi, że zbiory te są szrównoliczne. Bo powiedzmy, że \(\displaystyle{ A}\) to zbiór liczb naturalnych, a \(\displaystyle{ B}\) naturalnych parzystych. Wtedy istnieje bijekcja między tymi zbiorami, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest identyczna. Ale istnieje również iniekcja nie będąca bijekcją, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest różna. Więc co mamy na to powiedzieć? Z tego, co mi się wydaje to matematycy odpowiadają, że oba zbiory mają identyczną liczbę elementów - alef 0. Ale to wygląda na arbitralne preferowanie intuicji bijekcyjnej nad intuicję iniekcji nie będącej bijekcją. Jak dla mnie ta preferencja wymaga jakiegoś uzasadnienia.

Ok, a co gdybyśmy powiedzieli, że zbiory są równoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów? Albo, powiedzmy, że zbiory są szrównoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów.

A co to znaczy, że mają identyczną liczbę elementów? Jak to zdefiniujesz?

Wtedy istnieje bijekcja między tymi zbiorami, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest identyczna. Ale istnieje również iniekcja nie będąca bijekcją, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest różna. Więc co mamy na to powiedzieć? Z tego, co mi się wydaje to matematycy odpowiadają, że oba zbiory mają identyczną liczbę elementów - alef 0. Ale to wygląda na arbitralne preferowanie intuicji bijekcyjnej nad intuicję iniekcji nie będącej bijekcją. Jak dla mnie ta preferencja wymaga jakiegoś uzasadnienia.

To, że istnieje iniekcja niebędąca bijekcją jest domeną zbiorów nieskończonych. Pisał o tym już JK. Wskazanie iniekcji dowodzi tylko tyle, że \(\displaystyle{ A}\) ma nie więcej elementów niż \(\displaystyle{ B}\). A teraz zagadka dla Ciebie.

Ze zbioru liczb parzystych w zbiór liczb naturalnych wskazanie iniekcji to nie problem. Identyczność. To ja teraz biorę iniekcję ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb parzystych, daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=4x}\). Co teraz Twoja definicja powie? Wskazałem Ci wszak dwie iniekcje w obie strony.

barko pisze:Ok, a co gdybyśmy powiedzieli, że zbiory są równoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów?Albo, powiedzmy, że zbiory są szrównoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów.

Powiedzieć możemy, ale co z tego, skoro nie masz zdefiniowanego pojęcia "liczba elementów"? To, co proponujesz, to nie jest definicja.

barko pisze:Ale istnieje również iniekcja nie będąca bijekcją, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest różna.

A co to jest "ilość elementów"?

barko pisze:Więc co mamy na to powiedzieć? Z tego, co mi się wydaje to matematycy odpowiadają, że oba zbiory mają identyczną liczbę elementów - alef 0.

Nie. Matematycy odpowiadają, że oba te zbiory są równoliczne, czyli mają tę samą liczbę elementów. A powiedzenie, czym może być liczba elementów, to już kolejny stopień - porządne wprowadzenie liczb kardynalnych wymaga trochę pracy.

barko pisze:Ale to wygląda na arbitralne preferowanie intuicji bijekcyjnej nad intuicję iniekcji nie będącej bijekcją. Jak dla mnie ta preferencja wymaga jakiegoś uzasadnienia.

Jak dla mnie mylisz porównywanie zbiorów pod względem zawierania z porównywaniem względem liczby elementów.

JK

Nie widzę potrzeby definiowania, co to jest "liczba/ilość elemtentów" albo "posiadanie tej samej/identycznej liczby elementów" - te sformułowania wydają mi się dostatecznie jasne jak "krzywa" albo "część krzywej".
Ok, chyba ta rozmowa osiągnęła już swój koniec. Dzięki za pomoc

barko pisze:Nie widzę potrzeby definiowania, co to jest "liczba/ilość elemtentów" albo "posiadanie tej samej/identycznej liczby elementów" - te sformułowania wydają mi się dostatecznie jasne jak "krzywa" albo "część krzywej".

Tak samo można powiedzieć, że funkcja jest czymś "dostatecznie jasnym". W matematyce każdy obiekt powinien mieć swoją definicję, chyba że jest obiektem pierwotnym - niedefiniowalnym, jak zbiór. Krzywa akurat posiada swoją definicję. Identyczna liczba elementów też może zostać zdefiniowana, a ponieważ tego nie robisz, tak na prawdę nie wiadomo, co to znaczy, gdyż intuicja jest poprawna tylko dla zbiorów skończonych. Dla nieskończonych już nie, gdyż istnienie "nieskończenie" wiele różnych nieskończoności.

barko pisze:Nie widzę potrzeby definiowania, co to jest "liczba/ilość elemtentów" albo "posiadanie tej samej/identycznej liczby elementów" - te sformułowania wydają mi się dostatecznie jasne

W jaki sposób zatem próbowałbyś odpowiedzieć na pytanie czy zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o elementach wymiernych ma tyle samo elementów co zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych?

Q.

skoro o mamy bijekcję to mamy równoważność, a skoro równoważność to klasę równoważności i tym jest liczba kardynalna.

artbyte pisze:skoro o mamy bijekcję to mamy równoważność, a skoro równoważność to klasę równoważności i tym jest liczba kardynalna.

Jeżeli nie wiesz dokładnie, to lepiej nie pisz. To jest intuicyjna, a nie formalna interpretacja.

JK

pozdrawiam

No to jest właśnie intuicja dla niematematyków, a nie formalne podejście.

JK