Matematyka.pl

chciałbym policzyć splot funkcji f(t)*g(t):

\(\displaystyle{ f(t)= 1(t)e^{-t}}\)
\(\displaystyle{ g(t)= 1(t)e^{-2t}}\)

gdzie 1(t) to funkcja Heaviside'a

zacząłem to rozpisywać tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t}\left[ \left( 1(\tau)e^{-\tau}\right) \cdot \left( 1(t - \tau)e^{-2(t - \tau)}\right) \right] d\tau

=

\int_{0}^{t}\left[ \left( \begin{cases} 0; \tau <0\\ e^{-\tau}; \tau \ge 0\end{cases}\right)\cdot\left(\begin{cases} 0; \tau > t\\e^{-2(t - \tau)}; \tau \le t\end{cases}\right)\right]d\tau

=

\int_{0}^{t}\left[ \begin{cases} 0; \tau \in (t, 0)\\ e^{-2t + \tau}; \tau \in (- \infty, t) \wedge (0, \infty )\end{cases}\right] d\tau}\)

Co jest na końcu bezsensownym warunkiem, bo z niego wynika że całka wyjdzie 0, a wiem, że taka nie jest.

Co robię źle ?, proszę o pomoc.

Narysuj sobie na kartce przebieg iloczynu \(\displaystyle{ 1(\tau) \cdot 1(t-\tau)}\). Pamiętamy, że jakby zmienną jest tutaj \(\displaystyle{ \tau}\), natomiast \(\displaystyle{ t=const.}\)
Jak można zauważyć:
\(\displaystyle{ 1(\tau) \cdot 1(t-\tau)=\begin{cases} 1 \ gdy\ 0 \le \tau \le t\\
0 \ dla \ pozostałych \ \tau \end{cases}}\)

Zgadza się?

W związku z tym liczysz bezpośrednio:

\(\displaystyle{ f(t) * g(t)=\int\limits_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{t}e^{-\tau} e^{-2(t-\tau)}d\tau=e^{-2t}\int\limits_{0}^{t}e^{\tau}d\tau=e^{-2t}\left( e^t-1\right)=\\=e^{-t}-e^{-2t} \ dla \ t \ge 0}\)

Nie prościej policzyć splot z Tw. Borela?

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( f(t)*g(t)\right) = \mathcal{L}\left( f(t)\right) \cdot \mathcal{L} \left( g(t)\right)=\frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{s+2}=\\
=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2} \Rightarrow f(t)*g(t)=1(t) \cdot \left(e^{-t}-e^{-2t} \right)}\)

Chyba jakoś tak to będzie

To jest świetny schemat, dzięki !

A co musiał bym zastosować, żeby policzyć splot 2 takich samych funkcji \(\displaystyle{ f(x)=g(x) = e^{-t^{2}}}\) ?

bo wychodzi nie za ładna całka:
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } e^{-\tau^2} e^{-(t-\tau)^2} \, d\tau}\)

Oczywiście nie wolno mi skorzystać z Borela... zresztą i to by mi chyba nie za wiele pomogło.