Wykaż podzielność

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Zahion » 2 cze 2013, o 13:08

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ m \in N}\) liczba \(\displaystyle{ m ^{6} + m ^{4} - 2m ^{2}}\)
a) Jest podzielna przez \(\displaystyle{ (m-1)m(m+1) + 3m}\)
b) \(\displaystyle{ 72 | m ^{6} + m ^{4} - 2m ^{2}}\)

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Vether » 2 cze 2013, o 13:14

Musisz jakoś ładnie rozpisać \(\displaystyle{ m^6+m^4-2m^2}\). Próbowałeś coś zrobić?

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Zahion » 2 cze 2013, o 13:16

\(\displaystyle{ m ^{6} + m ^{4} - 2m ^{2} = [(m-1)m(m+1) + 3m][(m+1)m(m-1)]}\) ?

papus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 31 maja 2013, o 23:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Pomógł: 20 razy

Wykaż podzielność

Post autor: papus » 2 cze 2013, o 13:47

A jak zrobiłeś z \(\displaystyle{ m ^{6} + m ^{4} - 2m ^{2} = \left[\left(m-1\right)m\left(m+1\right) + 3m\right]\left[\left(m+1\right)m\left(m-1\right)\right]}\)?

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Vether » 2 cze 2013, o 13:55

Tak, bardzo ładnie.
Więc już widać, że całość jest podzielna przez \(\displaystyle{ \left( m-1\right)m\left( m+1\right)+3m}\).

b) Wskazówka:

\(\displaystyle{ 72|x \Leftrightarrow 8|x \wedge 9|x}\)
Ostatnio zmieniony 2 cze 2013, o 14:03 przez Vether, łącznie zmieniany 1 raz.

papus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 31 maja 2013, o 23:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Pomógł: 20 razy

Wykaż podzielność

Post autor: papus » 2 cze 2013, o 13:58

Ech już ślepnę chyba. Racja jest wszystko ok.

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Vether » 2 cze 2013, o 14:09

Pokaż najpierw, że:

\(\displaystyle{ 9|\left[ \left( m-1\right) m\left( m+1\right) + 3m\right]\left[ \left( m+1\right) m\left( m-1\right) \right]}\)

\(\displaystyle{ 9|x \Rightarrow x=9t \Rightarrow x=3 \cdot 3 \cdot t}\)

Czyli musisz pokazać, że nasze wyrażenie jest iloczynem przynajmniej dwóch trójek (iloczynem dwóch liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\)).

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Zahion » 2 cze 2013, o 14:44

Oki mam, thx

Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Vether » 2 cze 2013, o 14:46

Pokazałeś, że \(\displaystyle{ 8|m^6+m^4-2m^2}\)? Jeśli tak, to ok

ODPOWIEDZ