Matematyka.pl

Cześć, witam.

Otóż mam takie o równanie
\(\displaystyle{ a_{n+1}=5(n+1)a_{n} + (-1) ^{n+1} \cdot 7 ^{n} \cdot (5n+12)}\)

I do ułożenia równania charakterystycznego psuje mi zabawę te \(\displaystyle{ 5n}\) przy \(\displaystyle{ a _{n}}\).

Jak sobie poradzić z tym?
Czy może raczej dozwolone jest traktowanie tego n jako zwykłego współczynnika?
(innymi słowy, czy mogę to olać i cisnąć równianie charakterystyczne?)

Należy przedstawić iloczyn \(\displaystyle{ a_n(n+1)x^n}\) w postaci \(\displaystyle{ a_n\left(x^{n+1}\right)^\prime}\).

A rzeczywiście.. To pochodna..
Czyli kłania nam się równanie Bernoulliego, tak?

Równanie charakterystyczne można stosować tylko dla rekurencji liniowych o stałych współczynnikach.

W tym wypadku możesz albo użyć czynnika sumacyjnego (na przykład dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 5^{n+1}(n+1)!}\)), albo użyć funkcji tworzących (co doprowadzi do równania różniczkowego).

Q.

Jak na razie ogarnąłem materiał tylko do r. charakterystycznych, ale za chwilę poczytam o tym co mówisz i spróbuję.
Dam znać co wyszło.
Dzięki za wskazówki!

W tym wypadku możesz albo użyć czynnika sumacyjnego (na przykład dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 5^{n+1}(n+1)!}\)), albo użyć funkcji tworzących (co doprowadzi do równania różniczkowego).

No dobrze a co jeśli to równanie pojawiło się przy równaniach różniczkowych

Użycie wykładniczej funkcji tworzącej nie wymaga rozwiązania równania różniczkowego

Mógłbyś coś więcej napisać o tym czynniku sumacyjnym

-- 29 kwietnia 2014, 18:48 --

\(\displaystyle{ a_{n+1}=5(n+1)a_{n} + (-1) ^{n+1} \cdot 7 ^{n} \cdot (5n+12)\\
a_{n}=5na_{n-1}+\left( -1\right)^{n} \cdot 7^{n-1} \cdot \left( 5n+7\right)\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}} = \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{5}{\left( n-1\right)! } a_{n-1}x^{n}}+\frac{5}{7} \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{\left( -7\right)^n }{\left( n-1\right)! } x^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{\left( -7\right)^{n} }{n!} x^{n}} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}=A\left( x\right)\\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}} -a_{0} \right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{5}{n!}a_{n}x^{n+1} } + \frac{5}{7} \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{\left( -7\right)^{n+1}x^{n+1} }{n!} }+\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{\left( -7\right)^n }{n!}x^n }-1 \right)\\
A\left( x\right)-a_{0}=5xA\left( x\right)=-5xe^{-7x}+e^{-7x}-1\\
A\left( x\right)\left( 1-5x\right)=e^{-7x}\left( 1-5x\right)+a_{0}-1\\
A\left( x\right)=e^{-7x}+\left( a_{0}-1\right) \cdot \frac{1}{1-5x}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(\left( -7\right)^{n}+\left( a_{0}-1\right) \cdot n! \cdot 5^{n} \right) \cdot \frac{x^n}{n!} } \\
a_{n}=\left( -7\right)^{n}+\left( a_{0}-1\right) \cdot n! \cdot 5^{n}\\}\)-- 30 kwietnia 2014, 17:30 --

(innymi słowy, czy mogę to olać i cisnąć równianie charakterystyczne?)

Jeżeli zastosujesz narzucające się podstawienie to można z wielomianu charakterystycznego skorzystać
Rozwiązanie szczególe możesz znaleźć uzmienniając stałe