Obliczyć transformaty korzystając z własności.

[matzo]

Chciałbym policzyć transformatę:

\(\displaystyle{ f(t) = e^{-3 \left| t - 1\right|}\)

Miałem na zajęciach podane, że:
\(\displaystyle{ f(t) = e^{-c\left| t\right| } \rightarrow \widehat{f}(\omega) = \frac{2c}{ \omega^{2} + c^{2}}}\)

Myślałem, że mógłbym za c wstawić 3 i następnie wykonać przesunięcie argumentu funkcji o t-1, czyli przemnożyć to co otrzymam po wstawieniu 3 razy \(\displaystyle{ e^{-i\omega}}\), jako, że moje t0 = 1;

czyli odpowiedzią powinno być:
\(\displaystyle{ \widehat{f}(\omega) = \frac{6e^{-i\omega}}{ \omega^{2} + 9}}\)



Jednak wolfram pokazuje, że

\(\displaystyle{ \mathcal{F}_t\left[e^{-3 \left| t\right| }\right](\omega) = \frac{3 \sqrt{\frac{2}{\pi }}}{\omega ^2+9}}\)

więc jak to pomnożę razy \(\displaystyle{ e^{-i\omega}}\), to na pewno mi nie wyjdzie to co policzyłem ...

Co robię nie tak ? proszę o pomoc.

[Barbara777]

Wszystko dobrze.
Roznica miedzy tym, co miales na wykladzie, a tym, co obliczyl wolfram wynika z tego, ze istnieja rozne definicje TF. Wolfram skorzystal z nastepujacej definicji (TF unitarna, pulsacja):

\(\displaystyle{ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx}\)

Na wykladzie miales z pewnoscia inna definicje. Rzuc okiem na rozne definicje np w wiki, tam masz tez tablice.
Po prostu transformujac uzywaj jednego zrodla: albo wolfram, albo tabeli podanej na wykladzie, albo jakichs tablic.