Matematyka.pl

Jak rozwiązać takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ S}\) oznacza okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r>0}\) i niech \(\displaystyle{ \psi : (0, 2 \pi) \rightarrow S}\) będzie dane wzorem:
\(\displaystyle{ \psi (t) = (r \cos t , r \sin t)}\), \(\displaystyle{ t \in (0, 2 \pi)}\)
Miara na okręgu \(\displaystyle{ l_1 (\psi): \mathbb{B} (S) \rightarrow (0, 2 \pi r)}\) określona jest następująco
\(\displaystyle{ l_1 (\psi) (A) = r l_1 (\psi ^{-1} (A))}\) dla \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B} (S)}\)
Pokazać że jeśli \(\displaystyle{ \phi}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ (0, 2 \pi)}\), to wektor losowy \(\displaystyle{ (r \cos \phi , r \sin \phi)}\) ma rozkład jednostajny na okręgu \(\displaystyle{ S}\). Wszelka pomoc mile widziana.

Niech \(\displaystyle{ x, \ \alpha}\) będą takie, że \(\displaystyle{ (x, x+\alpha) \subseteq (0, 2\pi )}\). Weźmy wycinek koła

\(\displaystyle{ A(x, \alpha ) = \left\{ (r \cos (x+t ) , r\sin (x+t) ) : t \in (0, \alpha)\right\}}\).

Jeśli chcemy pokazać, że rozkład na kole jest jednostajny, to miara takiego wycinka musi zależeć jedynie od \(\displaystyle{ \alpha}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ P\left( (r \cos \phi , r \sin \phi) \in A(x, \alpha) \right) = P( \phi \in (x, x+\alpha ) )= \frac{\alpha}{2\pi}}\)

A w jaki sposób znaleźć gęstość rozkładu tego dwuwymiarowego wektora?

To nie ma gęstości względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie. Taki okrąg jest przecież miary 0. To tak naprawdę tylko formalnie jest wektor losowy (bo przekształca przestrzeń 1-wymarową w 1-wymiarowy okrąg) - lepiej to rozumieć jako funkcję borelowską nałożoną na \(\displaystyle{ \phi}\).