[Planimetria] Kolejne kółeczko z jednokładności
: 26 maja 2013, o 22:20
1. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). W kąty o wierzchołkach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wpisać dwa przystające, styczne zewnętrznie okręgi.
2. Przekątne trapezu przecinają się w punnkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste zawierające ramiona tego trapezu przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Udowodnij, że prosta \(\displaystyle{ P Q}\) przechodzi przez środki podstaw trapezu.
3. Okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są wpisane w kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ A}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest styczny zewnętrznie do okręgów w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ A, \ P, \ Q}\) są współliniowe.
4. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ K, \ L, \ M}\). Odcinki \(\displaystyle{ KP, \ LQ, \ MR}\) są wysokościami w trójkącie \(\displaystyle{ KLM}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AP, \ BQ, \ CR}\) przecinają się w jednym punkcie.
5. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), stycznego do boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz niech \(\displaystyle{ L}\) będzie odbiciem symetrycznym \(\displaystyle{ K}\) względem \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ IM}\) i \(\displaystyle{ AL}\) są równoległe.
6. Rozłączne zewnętrznie okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\), która nie rozdziela okręgów \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\), jest do nich styczna w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio. Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BQ}\) przecinają się na okręgu \(\displaystyle{ o}\).
7. Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) leżące na prostej \(\displaystyle{ AB}\). Kwadrat \(\displaystyle{ KLMN}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\), co kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AM}\), \(\displaystyle{ DL}\) i \(\displaystyle{ BN}\) przecinają się w jednym punkcie.
2. Przekątne trapezu przecinają się w punnkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste zawierające ramiona tego trapezu przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Udowodnij, że prosta \(\displaystyle{ P Q}\) przechodzi przez środki podstaw trapezu.
3. Okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są wpisane w kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ A}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest styczny zewnętrznie do okręgów w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ A, \ P, \ Q}\) są współliniowe.
4. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ K, \ L, \ M}\). Odcinki \(\displaystyle{ KP, \ LQ, \ MR}\) są wysokościami w trójkącie \(\displaystyle{ KLM}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AP, \ BQ, \ CR}\) przecinają się w jednym punkcie.
5. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), stycznego do boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz niech \(\displaystyle{ L}\) będzie odbiciem symetrycznym \(\displaystyle{ K}\) względem \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ IM}\) i \(\displaystyle{ AL}\) są równoległe.
6. Rozłączne zewnętrznie okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\), która nie rozdziela okręgów \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\), jest do nich styczna w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio. Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BQ}\) przecinają się na okręgu \(\displaystyle{ o}\).
7. Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) leżące na prostej \(\displaystyle{ AB}\). Kwadrat \(\displaystyle{ KLMN}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\), co kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AM}\), \(\displaystyle{ DL}\) i \(\displaystyle{ BN}\) przecinają się w jednym punkcie.