Matematyka.pl

Wykaż, że
\(\displaystyle{ |a\sin x+b\cos x|\leq \sqrt{a^2+b^2} \; \; dla \; a,b,x \in\RR.}\)

Skorzystamy, z faktu, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b\in \mathbb{R}}\) takich, że \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} \ne 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha}\) że:
\(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\\
\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}\)
(łatwo się o tym przekonać, np korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta i wykonując odpowiedni rysunek z kątem w układzie współrzędnych)

\(\displaystyle{ |a \sin x + b\cos x| = \left|\sqrt{a^{2} + b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\cos x\right)\right| = \left|\sqrt{a^{2} + b^{2}}(\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x)\right| =\\= \left|\sqrt{a^{2} + b^{2}}\cos (\alpha - x)\right| \leqslant \sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)

Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ a = b = 0}\), ale wtedy mamy po obu stronach dowodzonej nierówności zera więc zachodzi ona i w tym wypadku.

edit jak obiecałem tak zedytowałem: nie zmieniając wartości merytorycznej tylko poprawiając formę.

wielkie dzięki masz świętą rację