istnienie pierwiastka

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Czeczot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 20 maja 2013, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 147 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Czeczot » 22 maja 2013, o 19:20

Jak można wykazać istnienie pierwiastka dowolnego stopnia z liczby dodatniej nie odwołując się do granic? Chciałbym to pokazać, ale nie wiem jak. A może ktoś wie gdzie znajdę taki dowód? Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 22 maja 2013, o 19:31 przez Czeczot, łącznie zmieniany 1 raz.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: bartek118 » 22 maja 2013, o 19:30

Wynika to z tego, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)}\) określone wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x^n}\) jest bijekcją (jest ściśle rosnące). Zatem pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia (zdefiniowany jako odwzorowanie odwrotne do \(\displaystyle{ f}\)) jest określone poprawnie dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in (0, \infty )}\).

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Althorion » 22 maja 2013, o 20:01

bartek118: to że jest ściśle rosnące nam nie wystarczy do bijektywności (arcus tangens też jest ściśle rosnący, a nie jest bijekcją), potrzebujesz jeszcze właśnie tego, że dąży do nieskończoności — czyli właśnie granicy.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: yorgin » 22 maja 2013, o 20:14

Może wystarczy rozważyć przekroje Dedekinda, dzięki którym konstruuje się liczby rzeczywiste?

Czeczot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 20 maja 2013, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 147 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Czeczot » 22 maja 2013, o 20:18

chodzi o to z tymi przekrojami, że jak podzielimy zbiór liczb rzeczywistych na dwa niepuste zbiory dające w sumie ten zbiór, to albo w jednym jest liczba najmniejsza albo w drugim największa?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: yorgin » 22 maja 2013, o 20:19


Czeczot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 20 maja 2013, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 147 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Czeczot » 22 maja 2013, o 20:20

może być, a mógłbyś coś więcej podpowiedzieć jak zacząć ten dowód?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: bartek118 » 22 maja 2013, o 20:20

Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: yorgin » 22 maja 2013, o 20:30

1. Dla liczb rzeczywistych prawdziwe jest:

Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.

2. Oznaczmy \(\displaystyle{ \QQ^+}\) - liczby wymierne dodatnie. Chcemy skonstruować \(\displaystyle{ p:=\sqrt[n]{q}}\)

Definiujemy dwa zbiory

\(\displaystyle{ A=\{a\in \QQ^+: a<p\}\\ B=\{a\in \QQ^+: p<b\}}\)

Z uwagi 1. zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma kres górny. To jest szukany pierwiastek.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Althorion » 22 maja 2013, o 20:37

bartek118 pisze:Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic
A jak zdefiniujesz ciągłość bez granic?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: bartek118 » 22 maja 2013, o 20:48

Althorion pisze:
bartek118 pisze:Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic
A jak zdefiniujesz ciągłość bez granic?
\(\displaystyle{ \forall_{x_0 \in D_f} \ \forall_{\varepsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \in B(x_0, \delta)} \ f(x) \in B(f(x_0), \varepsilon)}\)

Czeczot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 20 maja 2013, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 147 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Czeczot » 22 maja 2013, o 20:56

yorgin a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, bo np. \(\displaystyle{ \lfloor p \rfloor-1}\) tam należy i wystarczy pokazać z definicji, że \(\displaystyle{ p}\) to kres, tak?

bartek118, ale skąd wiesz, że funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ f}\) jest pierwiastek jak w zadaniu trzeba udowodnić jego istnienie? pewnie źle rozumuję, ale czy to nie jest trochę wtórne?
Ostatnio zmieniony 22 maja 2013, o 21:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: yorgin » 22 maja 2013, o 21:00

Czeczot, skąd masz pewność, że Twoja liczba tam leży? Co, jeśli \(\displaystyle{ \lfloor p \rfloor=0}\) ?

Przy okazji, na wiki jest trochę o tej konstrukcji

Konstrukcja przekrojami
Ostatnio zmieniony 22 maja 2013, o 21:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówka.

Czeczot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 20 maja 2013, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 147 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: Czeczot » 22 maja 2013, o 21:04

fakt, a jak pokazać że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie pierwiastka

Post autor: yorgin » 22 maja 2013, o 21:06

Z gęstości - dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ p}\) potrafisz znaleźć liczbę wymierną \(\displaystyle{ a}\) taką, że \(\displaystyle{ 0<a<p}\).

ODPOWIEDZ