Matematyka.pl

Witam !
Mam do zrobienia zadanie:

W celu oszacowania średniego czasu pozostawania na bezrobociu wybrano w sposób losowy 7 bezrobotnych i obserwowano ich do momentu znalezenia przez nich pracy. Bezrobotni znaleźli pracę odpowiednio po(dniach): 51,115,150,190,217,228,350.

Wiedząc, że czas pozostawania na bezrobocoiu ma rozkład wykładniczy o gęstości danej:(tutaj podana podstawowy wzór na gęstość o rozkładzie wykładniczy)

Znaleźć ocenę wartości przeciętnej czasu pozostawania na bezrobociu oraz ocenę parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) tego rozkładu.

Nie wiem za bardzo jak zabrać się do tego zadania, nie rozumiem dlaczego mam podany tutaj rozkład wykładniczy.

Po prostu, taki masz rozkład dany i na takim rozkładzie musisz pracować.

Rozumiem, ale czy mógłbyś przedstawić algorytm postępowania przy obliczaniu tego typu zadania ? Bo nie jestem w stanie znaleźć podobnego typu zadań. Byłbym wdzięczny.

Estymatorem punktowym\(\displaystyle{ \overline{x}}\) średniego czasu przebywania na bezrobociu jest średnia z siedmioelementowej próby (moment I z próby).

Ocenę parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) znajdujemy metodą największej wiarygodności.
Funkcja wiarygodności rozkładu wykładniczego:
\(\displaystyle{ l(\lambda)=\lambda e^{-\lambda x_{1}}...\lambda e^{-\lambda{n}}=\lambda^{n}e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x{i}}=\lambda^{n}e^{-\lambda n\overline{x}}, n\overline{x}>0}\)
Po zlogarytmowaniu i zrózniczkowaniu
\(\displaystyle{ L(\lambda)=ln(l(\lambda)=nln(\lambda)-\lambda\cdot n\overline{x}.}\)
\(\displaystyle{ L'(\lambda)=\frac{n}{\lambda}-n\overline{x}}\)
Ekstrmum lokalne
\(\displaystyle{ L'(\lambda)=0 , \frac{n}{\lambda}-n\overline{x}=0}\)
\(\displaystyle{ \hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{x}}}\)
Pozostało sprawdzenie czy jest to maksimum lokalne.
\(\displaystyle{ L''(\hat{\lambda})=-\frac{n}{(\hat{\lambda})^{2}}<0}\)
Co należało sprawdzić.
Odpowiadając na Twoje pytanie:
czas oczekiwania często modeluje się rozkładem wykładniczym.