Matematyka.pl

W trójkącie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie P. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{AP}{AC}= \frac{BP}{BC}}\)

Ciśnij z tw. sinusów. Masz rysunek?
Pozdrawiam!

Oczywiście, że mam rysunek. Domyślałem się, że coś z sinusami, ale nie wiem gdzie coś dorysować żeby był kąt prosty i mógł porównywać. Jakaś wskazówka?

Nie musimy mieć kąta prostego. Oznacz sobie kąty:
\(\displaystyle{ \angle APC= \beta \\ \angle BPC = 180^{\circ} - \beta}\)
A wiemy, że \(\displaystyle{ \sin \beta = \sin 180^{\circ}- \beta}\).
Zastosuj tw. sinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ APC}\) i \(\displaystyle{ PBC}\).
Pozdrawiam!

A da się to wykazać inaczej, nie korzystając z twierdzenia sinusów?

Pewnie ,że się da i to na co najmniej dwa różne sposoby:
1)Stosunek pól trójkątów APC i BPC jest tak i, jak stosunek długości odcinków AP i PB. Zastosuj wzór na pole trójkąta jako połowa iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi ... i po sprawie.
2) Przedłuż bok AC poza punkt C i na przedłużeniu tym obierz taki punkt D , aby odcinek CD równy był bokowi BC. Wtedy z równoległości odcinków CP DB(wykaż to!) i z twierdzenia Talesa otrzymasz tezę. Powodzenia!

Dziekuję Wam obydwu.