Matematyka.pl

1.Otóż nie wiem jak udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ a_1,a_2, ... , a_r\in \mathbb{Z}; k\in \mathbb{Z}}\) względnie pierwsza \(\displaystyle{ a_i}\) dla każdego \(\displaystyle{ i={1,2,...,r}}\) to k jest względnie pierwsza z iloczynem \(\displaystyle{ a_1 \cdot ... \cdot a_r}\).

2. Jesli \(\displaystyle{ m_1,m_2,...,m_r \in \mathbb{Z}}\) parami względnie pierwsze, \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) taka że \(\displaystyle{ m_i}\) dzieli k dla każdego i, to iloczyn \(\displaystyle{ m_1 \cdot m_2 \cdot ... \cdot m_r}\) dzieli \(\displaystyle{ k}\).
Proszę o jakieś wskazówki.

Pierwsze: spróbuj indukcyjnie po ilości zmiennych, taki sposób się tu chyba narzuca.

Czy w pierwszym wystarczy następujący dowód:
Na mocy tw. zasadniczego arytmetyki \(\displaystyle{ k=q_1\cdot q_2 \cdot ... \cdot q_s, q_i \in \mathbb{P}}\) oraz \(\displaystyle{ a_i=r_{1i} \cdot ... \cdot r_{ni}, r_{ni} \in \mathbb{P}}\) oraz \(\displaystyle{ q_i \neq r_{ni}}\) dla każdego i. Z tego wynika że w iloczynie \(\displaystyle{ a_i \cdot ... \cdot a_r}\) też nie będzie czynnika wspólnego z \(\displaystyle{ q_i}\) czyli k jest względnie pierwsze z iloczynem. Z góry dziękuję.
A w drugim w zasadzie dokładnie to samo rozumowanie, też z tw. zasadniczego.
\(\displaystyle{ m_i=p_{1i} \cdot ... \cdot p_{ri}}\), ze względnej pierwszości wynika, że \(\displaystyle{ p_{li} \neq p_{si_2}}\) dla każdego \(\displaystyle{ i \neq i_2}\) z tego, że k dzieli \(\displaystyle{ m_i}\) wynika że w rozkładzie k na czynniki pierwsze występują wszystkie czynniki występujące w rozkładzie na czynniki \(\displaystyle{ m_i}\). Z tego i z tego że w rozkładzie na czynniki każdego \(\displaystyle{ m_i}\) wystąpią różne liczby pierwsze bezpośrednio wynika, że k dzieli iloczyn \(\displaystyle{ m_1 \cdot ... \cdot m_r}\).

Można w ten sposób, ale trzeba doprecyzować zapis tego rozkładu, teraz muszę się domyślać, co znaczą te indeksy dolne.

właśnie tak myślałem, że coś z ideksami będzie nie do końca precyzyjnie. Bardzo dziękuję za odpowiedź