całka oznaczona

[szumek1991]

Wita mam problem z następującym zadaniem :
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \frac{1}{2} } \frac{(2x+3)dx}{ \sqrt{3+4x+4x ^{2} } }}\)
policzyłem delte nastepnie z mianownika zrobiłem postać kanoniczną i chciałem zrobić to ze wzoru na całkę na 1/a arctgx/a. Tylko że w takim razie nie wiem co z licznikiem bo nie mam tam jedności. A przez rozkład na współczynniki gdy mam pierwiastek w mianowniku nie potrafię wykonać. Mógłby ktoś pomóc?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \int \frac{2x+3}{\sqrt{3+4x+4x^2}}dx=\int \frac{\frac{1}{4}(4x^2+4x+3)'+2}{\sqrt{3+4x+4x^2}}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x+3}+\int\frac{2}{\sqrt{4x^2+4x+3}}dx=\ldots}\)

[szumek1991]

ogólnie pomyliłem się w dwóch miejscach tam w liczniku powinno być 2x-3 a w mianowniku pierwiastek z 3+4x-4x^2
Pytanie skąd takie przekształcenie, które zaprezentowałeś ??

[yorgin]

W mianowniku wydzieliłem tę część, która jest pochodną wyrażenia pod pierwiastkiem, potem tylko prosty wzór

\(\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx=2\sqrt{f(x)}+C}\)

Jeśli nie chcesz zgadywać lub nie widzisz takich rzeczy, zawsze możesz posłużyć się metodą

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node76.html

[szumek1991]

ok dobrze. udało mi się wykonać to zadanie. Jeśli mogę jeszcze zapytać jak ruszyć z tym zadaniem, byłbym wdzięczny:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \frac{x ^{2}+1 }{ \sqrt[3]{x ^{3}+3x+1 } }dx}\)

[yorgin]

Podstawieniem

\(\displaystyle{ t=x^3+3x+1}\)

Powinno się narzucić, licznik to pochodna wyrażenia pod pierwiastkiem z dokładnością do mnożenia przez stałą.