Matematyka.pl

Witam, czy ma ktoś może pomysł jak wykazać, że wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg to:

\(\displaystyle{ \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d}\)- długości boków, \(\displaystyle{ p}\)- połowa obwodu.

Trzeba tu skorzystać z twierdzenia cosinusów (po poprowadzeniu przekątnej) oraz faktu, że pole czworokąta to suma pól dwóch trójkątów, ale gdzieś się gubię i wychodzą mi kosmiczne obliczenia, które chyba do niczego nie prowadzą.

Z góry dziękuję

... 7s_formula

Niech zgadnę. Jagiełło 2a?
My też dostaliśmy taką pracę dla chętnych (2d).
w trójkącie ABD:
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a^2 + d^2 - k^2 }{2ad}}\)
w trójkącie CDB:
\(\displaystyle{ cos \gamma = \frac{b^2+c^2-k^2}{2bc}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha + cos \gamma = 0}\) z tego liczysz \(\displaystyle{ k^2}\)

trochę tego liczenia jest, więc

\(\displaystyle{ k^2= \frac{bca^2 + bcd^2 + adb^2 + adc^2}{bc+ad}}\)
To \(\displaystyle{ k^2}\) wstawiasz do \(\displaystyle{ cos \alpha}\) i wyliczasz tego cosinusa. Powinno wyjść:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(bc + ad}}\)

Następnie z jedynki trygonometrycznej wyliczasz \(\displaystyle{ sin^2 \alpha}\), później analogicznie jak w Heronie.

Elegancko wytłumaczone pochodzenie wzoru: (po polsku)

Warto nadmienić, że prawdziwy jest ogólniejszy wzór na pole dowolnego czworokąta:
\(\displaystyle{ P= \sqrt{\left( p-a\right)\left( p-b\right) \left( p-c\right) \left( p-d\right) -abcd \cos \frac{\alpha }{2} }}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest sumą przeciwległych kątów czworokąta (wszystko jedno którą, w ostatecznym rachunku i tak nie ma to znaczenia)
Widzimy, że wzór Brahmagupty jest szczególnym przypadkiem tego wzoru dla sumy przeciwległych kątów równej 180 stopni, czyli gdy czworokąt jest wpisany w okrąg. Można też z tego stwierdzić, że spośród czworokątów o danym obwodzie największe pole ma ten, który da się wpisać w okrąg.
Wyprowadzenie tego wzoru nie jest jakieś trudne, ale dość żmudne rachunkowo i długie.

Taaak, Jagiełło 2a, widać nasze prace domowe są bardzo charakterystyczne
Trochę późno ale dziękuję wszystkim za odpowiedzi