Matematyka.pl

Wśród dziesięciu osób pięć zna język angielski, siedem język niemiecki i sześć osób zna francuski, przy czym każda z osób zna przynajmniej jeden z tych języków. Oszacuj prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba zna trzy języki.

Sprawdzam prawdopodobieństwa dla każdego języka :
\(\displaystyle{ P(An)=5/10}\)
\(\displaystyle{ P(N)=7/10}\)
\(\displaystyle{ P(F)=6/10}\)
Więc :
\(\displaystyle{ P(A)=P(An)*P(N)*P(F)= \frac{21}{100}}\)
Teraz czy mogę tak zrobić?
Właściwie jedyne co wiemy to że :
\(\displaystyle{ A=An \cap N \cap F}\)

Z drugiej strony rozwiązanie w książce to :
\(\displaystyle{ 0 \le P(A) \le 0.4}\)
Jak udowodnić że maksymalna liczba ludzi mówiących w 3 językach to 4?

Wskazówka:

Oznacz sobie liczbę osób które znają dokładnie dwa języki przez:

\(\displaystyle{ |A+N|; \ \ |A+F|; \ \ |N+F|}\)

oraz liczbę osób znających trzy języki przez:

\(\displaystyle{ |A+N+F|}\)

Teraz możesz zapisać (zasada włączeń i wyłączeń lub można narysować diagram Venna):

\(\displaystyle{ |\Omega|=|A|+|N|+|F|-\left( |A+N|+|A+N+F|\right) - \left( |A+F|+|A+N+F| \right) -\left( |N+F|+|A+N+F|\right) +|A+N+F|}\)

Spróbuj na tej podstawie oszacować wartość \(\displaystyle{ |A+N+F|}\)

A jak odniesiesz się do pierwszego wyniku?

Luxxar pisze:\(\displaystyle{ P(A)=P(An)*P(N)*P(F)= \frac{21}{100}}\)
Teraz czy mogę tak zrobić?
Właściwie jedyne co wiemy to że :
\(\displaystyle{ A=An \cap N \cap F}\)

To pierwsze to nie jest prawda. W ogólności:

\(\displaystyle{ P(An \cap N \cap F) \neq P(An) \cdot P(N) \cdot P(F)}\)