Matematyka.pl

Witam,
Oto obrazek poglądowy:

Potrzebuję wzór bądź formułę excelowską dzięki której podając X w cm (zmierzony miarką) zwróci ona ilość litrów w zbiorniku. Wiem, że sprawa byłaby prostsza gdyby w podstawie walca było koło - znalazłem już odpowiednie kalkulatory, jednak w przypadku walca eliptycznego sprawa komplikuje się.
Liczę na Waszą pomoc, jeśli się to nie uda to trudno.
Pozdrawiam

Przyznam, że trochę nie wiem, co to jest to x? Długość krótszej średnicy elipsy? Objętość walca = pole podstawy * wysokość; pole elipsy = \(\displaystyle{ \pi}\) * krótsza półoś * dłuższa półoś. Na tym rysunku objętosć tego walca to \(\displaystyle{ pi*121*183*297}\) .

Walec na rysunku to zbiornik na olej opałowy, 5000 litrów (+/-)
X na rysunku to poziom oleju opałowego w zbiorniku, przez klapę wlewu u góry wkładam listwę z miarką i nią sprawdzam ile cm jest w zbiorniku, ale ktoś zażyczył sobie bym podawał to w litrach - z matematyki miałem 3 w liceum i zwróciłem się do Was. Po prostu potrzebny mi wzór do którego podstawiałbym pod X wysokość "lustra cieczy" i zwracałby on stan zbiornika w litrach.
Długość zbiornika - \(\displaystyle{ 297 cm}\)
Dłuższa półoś elipsy - \(\displaystyle{ 183 cm}\)
Krótsza półoś elipsy - \(\displaystyle{ 121 cm}\)

Wysokość walca nie ma nic do rzeczy, bo nie napełniasz go całego, tylko do pewnej wysokości - \(\displaystyle{ X}\).
Pole podstawy to pole elipsy, czyli: \(\displaystyle{ \pi ab =\frac{1}{4} \pi \cdot 121 \cdot 183}\).
Aby obliczyć objętość oleju w zbiorniku, bierzesz więc:

\(\displaystyle{ V = X \cdot S = \frac{1}{4} X \cdot \pi \cdot 121 \cdot 183}\)

EDYSIA 1: Przepraszam, dopiero teraz zauważyłem, że nie napełniasz walca od góry tylko trochę inaczej. Zależność będzie trudniejsza, w chwili obecnej jej nie znam, pomyślę, a może w międzyczasie ktoś inny ci pomoże.

EDYSIA 2: Już mam.

Żeby w ogóle cokolwiek zrobić, musimy działać nie na elipsie, lecz na okręgu. Wtedy wszystko się robi prostsze.
Odpowiednio przekształcając wzór na pole odcinka koła, tak aby zależał tylko od \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ h}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S = R^2 (\arccos{\frac{R-h}{R}} - \sqrt{1-\frac{(R-h)^2}{R^2}}\cdot \frac{R-h}{R})}\)
Żeby otrzymać wzór na pole odpowiedniego odcinka elipsy, musimy teraz przekształcić nasz okrąg afinicznie i zobaczyć co nam się zmienia. Oczywiście należy tylko pomnożyć pole raz przez skalę, bo wydłużają nam się odcinki w kierunku pionowym. Trzeba też zastanowić się, czy na pewno możemy zastąpić \(\displaystyle{ \frac{R-h}{R}}\) tak po prostu przez \(\displaystyle{ \frac{b-X}{b}}\). Okazuje się, że tak, bo obie te długości nie zmieniają się w tym przekształceniu, a więc możemy je mierzyć i przed i po i wyjdzie to samo. Zatem wzór na pole naszego odcinka elipsy (mierzonegoz tej storny), ostatecznie wynosi:

\(\displaystyle{ S= ab (\arccos{\frac{b-X}{b}} - \sqrt{1-\frac{(b-X)^2}{b^2}}\cdot \frac{b-X}{b})}\).
Po pomnożeniu przez długość zbiornika otrzymujemy objętość cieczy:
\(\displaystyle{ V = S \cdot H = H \cdot ab (\arccos{\frac{b-X}{b}} - \sqrt{1-\frac{(b-X)^2}{b^2}}\cdot \frac{b-X}{b})}\).

Są wzory przybliżone na te funkcje kołowe, ale nie ma sensu ich tu stosować, bo i tak ci to Excel będzie liczył.

Pamiętając, że:
\(\displaystyle{ 2a = 183}\)
\(\displaystyle{ 2b = 121}\)
\(\displaystyle{ H = 297}\),
robimy formułę do Excela:

Jeżeli wartość \(\displaystyle{ 2a}\) zapiszesz w komórce A1,
wartość \(\displaystyle{ 2b}\) w komórce A2
wartość \(\displaystyle{ H}\) w komórce A3,
wartość X w komórce A4,
otrzymasz formułę:
Dzielimy przez \(\displaystyle{ 1000}\), bo jednostka to centymetr sześcienny, a ma być decymetr sześcienny.

o matko, jak zobaczyłem te obliczenia to oniemiałem. Zadanie to dostało ode mnie kilka osób po maturze rozszerzonej i wszyscy się poddali. Z mojej strony chapeu bas - jesteś geniuszem, a przynajmniej traktuj się w tych kategoriach. Dziękuję.