Matematyka.pl

Witam. Mam taki problem z zadania z transformaty Z.
Polecenie: Rozwiąż poniższe równanie za pomocą transformaty Z:
\(\displaystyle{ y(n+1)-y(n)=6n-2 y(0)=6}\)
No i rozwiązywałem to na tablicy i zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ oznaczmy Y(z) ;= Z{y(n)}}\)
\(\displaystyle{ zY(z)-6z-Y(z)= \frac{6z}{(z-1)^{2}}- \frac{8z}{(z-1)}}\)
\(\displaystyle{ Y(z)= \frac{6z}{(z-1)^{3}}- \frac{8z}{(z-1)^{2}}+ \frac{6z}{(z-1)}}\)
No i wtedy się zaciąłem, więc napisał mi wzór
\(\displaystyle{ Z( n^{2} )= \frac{z(z+1)}{(z-1)^{3}}}\)
później coś policzył w pamięci pozastanawiał się i napisał coś takiego:
\(\displaystyle{ z \frac{z+1}{(z-1)^3}=z( \frac{1}{(z-1)^{2}} + \frac{2}{(z-1)^{3}})}\)

I od tego momentu nie wiem już kompletnie o co biega. Mógłby mi ktoś w tym pomóc. Będe bardzo wdzięczny.

Nie za bardzo wiem, jak rozwiązujesz te równanie. Przedstawię zarys rozwiązania:

\(\displaystyle{ zY(z)-6z-Y(z)= \frac{6z}{(z-1)^2}- \frac{2z}{z-1}}\)

\(\displaystyle{ (z-1)Y(z)= \frac{6z}{(z-1)^2}- \frac{2z}{z-1} +6z}\)

\(\displaystyle{ (z-1)Y(z) = \frac{6z-2z(z-1)+6z(z-1)^2}{(z-1)^2}}\)

\(\displaystyle{ (z-1)Y(z) = \frac{6z^3-14z^2+14z}{(z-1)^2}}\)

\(\displaystyle{ Y(z) = \frac{6z^3-14z^2+14z}{(z-1)^3}}\)

\(\displaystyle{ Y(z) = z \cdot \frac{6z^2-14z+14}{(z-1)^3}}\)

dalej residua i masz rozwiązanie zadanie

Ok. Teraz rozumiem dzięki wielkie za pomoc.
Pozdrawiam

Oj jednak nie do końca :/
Ile jest równa transformata "z" z
\(\displaystyle{ \frac{6}{(z-1) ^{3} }}\)
A dokładniej mam takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{6z}{ (z-1)^{3} } - \frac{8z}{ (z-1)^{2} } + \frac{6z}{(z-1)}}\)
Z tego członu \(\displaystyle{ \frac{6z}{ (z-1)^{3} } - \frac{8z}{ (z-1)^{2} }}\) próbuje to podciągnąć pod wzór: \(\displaystyle{ \frac{z(z+1)}{(z-1) ^{3} }=z( \frac{2}{(z-1) ^{3} }+ \frac{1}{(z-1) ^{2}})}\) i z tego transf odwrotna jest \(\displaystyle{ n^{2}}\)

W końcu dochodzę do takiego czegoś:
\(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{2z}{ (z-1)^{3} }-8 \cdot \frac{z}{ (z-1)^{2} }+\frac{6z}{(z-1)}}\)

Czy moje rozumowanie jest dobre? I co z tym dalej zrobić, bo niby już otrzymałem \(\displaystyle{ n^{2}}\)
ale co z tym \(\displaystyle{ 3 oraz -8}\) .
Bardzo proszę o pomoc.

Kontynuując moje rozwiązanie (nie wiem jak Ciebie uczono rozwiązywać równania różnicowe)

\(\displaystyle{ Y(z) = z \cdot \frac{6z^2-14z+14}{(z-1)^3} = z \cdot Y_{1}(z)}\)

\(\displaystyle{ res \left[ Y_{1}(z) \cdot z^{n-1}\right ] = \frac{1}{2!} \cdot \lim_{z \to 1 } \frac{d^2}{dz^2} \left( \frac{6z^2-14z+14}{(z-1)^3} \cdot (z-1)^3 \cdot z^{n-1} \right)=}\)
\(\displaystyle{ = 3n^2-11n+14}\)

czyli

\(\displaystyle{ y_1[n]=(3n^2-11n+14) \cdot 1[n-1]}\)

a ponieważ

\(\displaystyle{ y[n]=y[n+1]}\)

to rozwiązanie równania wynosi:

\(\displaystyle{ y[n]=(3(n+1)^2-11(n+1)+14) \cdot 1[n]}\)