Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniem. Jako że listy zadań mają niewiele wspólnego z wykładem, ćwiczeniowiec też jest beznadziejny a z szeregów na analizie miałem dopiero jeden wykład prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania. Muszę zobaczyć chociaż jeden rozwiązany przykład żeby załapać o co chodzi, bo czysta teoria niewiele mi mówi.

Stosując twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego znajdź wyraz ogólny ciągu którego funkcją tworzącą jest:
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{2}}}\)
b) \(\displaystyle{ \ln (1+x)}\)

Umiem znaleźć wyraz ogólny(np. dla \(\displaystyle{ f(x)=x \cdot e^{x}}\)) ale nie mam pojęcia jak prawidłowo zastosować twierdzenie o różniczkowaniu/całkowaniu szeregów(jak pisałem, dopiero zaczęliśmy szeregi na analizie, paranoja).

Policz z pierwszego całkę, a z drugiego pochodną, wyjdą znane Ci twory

miodzio1988 pisze:Policz z pierwszego całkę, a z drugiego pochodną, wyjdą znane Ci twory

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{(1-x)^{2}} =- \frac {1} {1-x} + C}\)
\(\displaystyle{ [\ln (1+x)]` = \frac{1}{1+x}}\)

Wychodzą twory które łatwo przekształcę w szereg, a z niego wyciągnę wyraz ogólny ciągu ale przecież zróżniczkowałem i scałkowałem funkcję tworzące. Więc przykładowo
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x} = \sum_{0}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot x^{n} \rightarrow f_{n} = (-1)^{n}}\) da wyraz ogólny \(\displaystyle{ f_{n}}\) dla funkcji zróżniczkowanej, a nie wyjściowej... Jak to się ma do siebie?

Polecono Ci zastosować twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego. Jak ono brzmi?

Wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest nie tylko ciągła, ale także różniczkowalna oraz pochodna sumy szeregu jest sumą szeregu pochodnych wyrazów szeregu wyjściowego.

Czyli w moim przypadku:

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot x^n}\)

Pochodna sumy jest sumą szeregu pochodnych, czyli... \(\displaystyle{ (-1)^{n} \cdot x^{n}}\) jest pochodną tego co mam pod sumą? I po scałkowaniu tego wyrażenia otrzymam to co by było pod sumą w szeregu wyjściowym? \(\displaystyle{ \int_{}^{} (-1)^{n} \cdot x^{n} \mbox{d}x = (-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}}\) i mój wyjściowy szereg wygląda tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} \rightarrow f_{n} = \begin{cases} 0, n=0 \\ \frac{(-1)^{n}}{n+1}, n \ge 1 \end{cases}}\)

Dobrze?

EDIT: Wolfram Alpha pokazuje że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}=\log(x+1)}\) więc chyba jest ok.

Nie chyba, tylko na pewno - wyszło ci to samo.

Pomijając jeden drobny błąd... Dla \(\displaystyle{ n=0}\) wcale współczynnik nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Całkujemy normalnie.