Matematyka.pl

Znaleźć kres dolny zbioru \(\displaystyle{ \left\{ y \in \mathbb{R}:
(\exists{n \in \mathbb{N},n>2})(\exists{x \in \mathbb{R}}) \ y= \sum_{k=4}^{2n} {2n\choose k}x^{k-4}
\right\}}\)

Najbardziej zależy mi na w miarę elementarnym sposobie tj. rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (funkcje elementarne), indukcja, w miarę elementarne nierówności itp. (od razu piszę, że w zasadzie nie znam się na całkach i rozwijaniu funkcji w szeregi nieskończone). Wystarczą mi, rzecz jasna, same podpowiedzi, ale gdy nie będę czegoś rozumiał czy potrafił pokazać, to będę pytał o dalsze wskazówki i ew. sprawdzenie czy dobrze robię. Definicję kresu dolnego znam.

\(\displaystyle{ y= \frac{(1+x)^{2n}-1-2n \cdot x- \frac{2n(2n-1)}{2} \cdot x^2 - \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \cdot x^3}{x^4}}\)

dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ y=15+6x+x^2 = 6+ (x+3) ^ 2 in [6;+ infty )}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\) : \(\displaystyle{ y in [18.56... ;+ infty )}\)

dla \(\displaystyle{ n=5}\) : \(\displaystyle{ y in [42.41... ;+ infty )}\)

dla \(\displaystyle{ n=6}\) : \(\displaystyle{ y in [81.36... ;+ infty )}\)

więc wygląda na to że trzeba pokazać iż najmniejszą wartość osiąga przy n=3 ...

No właśnie problem polega na tym, że nie wiem jak to pokazać (o ile to prawda jest).-- 14 maja 2013, o 09:31 --Jakieś pomysły?