Matematyka.pl

Równanie różniczkowe.Nie wiem jak to rozwiązać.

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - xy=x}\)

\(\displaystyle{ y'=x(y+1) \\ \frac{y'}{y+1}=x}\)

Itd.

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:

\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-xy=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=x(1+y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{1+y}=x{\rm d}x}\)

I całkujemy obustronnie:

\(\displaystyle{ \int\frac{{\rm d}y}{1+y}=\int x{\rm d}x}\)

Otrzymujemy zatem:

\(\displaystyle{ \ln |1+y|=\frac{x^2}{2}+{\cal C}_1}\)

\(\displaystyle{ e^{\ln |y+1|}=e^{\frac{x^2}{2}+{\cal C}_1}}\)

\(\displaystyle{ {\cal C}=e^{{\cal C}_1}}\)

Ostatecznie mamy:

\(\displaystyle{ 1+y={\cal C}e^{\frac{x^2}{2}}}\)

\(\displaystyle{ y={\cal C}e^{\frac{x^2}{2}}-1}\)