Matematyka.pl

Dla operatora postaci \(\displaystyle{ \hat A= \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} }{ \partial r^{2} }+ \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r }+ \frac{1}{r}}\) reprezentującego pewną zmienną dynamiczną A znana jest funkcja własna \(\displaystyle{ \psi \left( r,\theta,\phi \right) = \frac{1}{ \sqrt{ \pi } }\cdot e^{-r}}\). Jakie mogą być możliwe wyniki pomiarów zmiennej A w stanie \(\displaystyle{ \psi \left( r,\theta,\phi \right)}\)?

Proszę o jakąś wskazówkę.

Zadanie polega na znalezieniu wielkości \(\displaystyle{ \zeta}\) określonej przez równanie \(\displaystyle{ \hat A\psi =\zeta\psi}\).
Zacznij więc od policzenia \(\displaystyle{ \hat A \psi}\).

czy ta wielkość \(\displaystyle{ \zeta}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{ \pi } }}\) ?

Masz wyznaczyć wartości własne operatora (będą to możliwe wyniki pomiarów zmiennej). Jak chcesz sprawdzić czy wyznaczyłaś je poprawnie to podstawiasz ją/je do równania własnego (podane przez Aresa41 w poprzednim poście) razem z daną funkcją własną i przekształcasz tak aby prawa strona równała się lewej. Mi tak w pamięci to wyszła inna wartość własna (1/2). Przy czym nie musi to być (i zapewne nie jest) jedyna wartość własna.