Równanie do kontroli.
: 27 kwie 2013, o 11:43
Witam. Mam takie równanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ 2^{4 \cos^2 x + 1} + 16 \cdot 2^{4 \sin ^2 x -3} = 20}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)
I proszę o sprawdzenie poprawności. Najpierw przekształcam do tej postaci:
\(\displaystyle{ 2^{-4 \sin ^2 x} \cdot 2^5 + 2^{4 \sin ^2 x} \cdot 2 = 20}\) Podstawiam: \(\displaystyle{ 2^{4 \sin ^2 x} = t, t>0}\)
Wychodzi zatem:
\(\displaystyle{ \frac{2^5}{t} + 2t = 20 \Rightarrow t^2 - 10t + 16 = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ 2;8\right\}}\)
Wracam do podstawienia:
\(\displaystyle{ 2^{4 \sin^2 x} = 2 \vee 2^{4 \sin^2 x} = 2^3}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2} \vee \sin^2 x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
Odrzucam ujemne rozwiązania i na podstawie wykresu sinusa mam rozwiązania: \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{6}; \frac{ \pi }{3}; \frac{2 \pi }{3}; \frac{5 \pi }{6} \right\}}\).
Ja błędu nie widzę, ale kumplowi wyszło inaczej a nie mamy odpowiedzi do zadania, bo to kserówka. Proszę uprzejmie o sprawdzenie i pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 2^{4 \cos^2 x + 1} + 16 \cdot 2^{4 \sin ^2 x -3} = 20}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)
I proszę o sprawdzenie poprawności. Najpierw przekształcam do tej postaci:
\(\displaystyle{ 2^{-4 \sin ^2 x} \cdot 2^5 + 2^{4 \sin ^2 x} \cdot 2 = 20}\) Podstawiam: \(\displaystyle{ 2^{4 \sin ^2 x} = t, t>0}\)
Wychodzi zatem:
\(\displaystyle{ \frac{2^5}{t} + 2t = 20 \Rightarrow t^2 - 10t + 16 = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ 2;8\right\}}\)
Wracam do podstawienia:
\(\displaystyle{ 2^{4 \sin^2 x} = 2 \vee 2^{4 \sin^2 x} = 2^3}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2} \vee \sin^2 x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
Odrzucam ujemne rozwiązania i na podstawie wykresu sinusa mam rozwiązania: \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{6}; \frac{ \pi }{3}; \frac{2 \pi }{3}; \frac{5 \pi }{6} \right\}}\).
Ja błędu nie widzę, ale kumplowi wyszło inaczej a nie mamy odpowiedzi do zadania, bo to kserówka. Proszę uprzejmie o sprawdzenie i pozdrawiam.