Matematyka.pl

Jakie są wszystkie podpierścienie ciała \(\displaystyle{ \QQ}\) ? Muszę je opisać.

Podciało jest tylko jedno - samo \(\displaystyle{ \QQ}\), albowiem każde ciało zawarte w \(\displaystyle{ \RR}\) zawiera \(\displaystyle{ \QQ}\). Na pewno podpierścieniem jest \(\displaystyle{ \ZZ}\). Śmiem twierdzić, że innych nie ma. Aby to sprawdzić, bierzemy jakiś dowolny podpierścień \(\displaystyle{ P\subset\QQ}\). Należałoby sprawdzić, że \(\displaystyle{ \ZZ\subset P}\). Ale \(\displaystyle{ 1\in P}\) (rozważamy pierścienie z jedynką), a więc po dodaniu jedynki do siebie dostatecznie wiele razy, otrzymujemy żądany warunek, że dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest elementem \(\displaystyle{ P}\), więc także każda liczba całkowita należy do \(\displaystyle{ P}\).

Nie zgodzę się, że tylko \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) jest podpierścieniem. A co z podpierścieniem wszystkich ułamków, które dają się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{2^i}}\)? Ogólniej każda lokalizacja \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) względem podzbioru multiplikatywnego, który nie zawiera \(\displaystyle{ 0}\), wydaje się ok.

Tak, to jest podpierścień. Moje rozumowanie, że \(\displaystyle{ \ZZ\subset P}\) jest w porządku, tylko nie dowodzi tego, że \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest (rzekomo ) jedynym podpierścieniem. Do tego potrzebowalibyśmy inkluzji odwrotnej. Dziękuję za czujność.

Można dosyć łatwo uzasadnić, że każdy podpierścień jest postaci \(\displaystyle{ \ZZ[\{\frac{1}{p}:p\in S\}]}\) gdzie \(\displaystyle{ S\subseteq \mathbb{P}}\).

dzięki