Matematyka.pl

Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Niech S będzie środkiem boku AB, O - środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, H - punktem przecięcia się wysokości tego trójkąta. Udowodnij, że |CH|=2|OS|.

Niech P to środek cięzkości trójkąta ABC. Niech A'B'C' będzie obrazem ABC w jednokładności o środku w P i skali -2. Wtedy A leży na B'C', B leży na C'A', a C leży na A'B' (bo środkowe przecinają się w stosunku 2:1, więc nasza jednokładność wyrzuciła środki boków ABC na wierzchołki A, B i C). Z własności jednokładności AB||A'B', a więc wysokość h trójkąta ABC opuszczona z C jest prostopadła do A'B'. Wiemy, że obrazem punktu S jest punkt C, a ponieważ S to połowa AB, więc C to połowa A'B', czyli h dzieli A'B' na połowy, a skoro jest też do A'B' prostopadła, to zawarta jest w symetralnej boku A'B'. Widzimy więc, że symetralna boku AB przeszła na prostą zawierającą wysokość h. Podobnie wszystkie pozostałe środkowe trójkąta ABC przeszły na odpowiednie proste zawierające wyskości trójkąta ABC, a więc w szczególności punkt przecięcia środkowych O przeszedł na ortocentrum H. Poza tym S przeszło na C, a skoro jednokładność miała skalę -2, to 2OS=HC, cnd.

Witam. Jest jeszcze jakiś inny sposób na udowodnienie tego?