Matematyka.pl

Mam problem ze zrozumieniem przykładu z książki Dumnickiego, "Bazy Grobnera" str. 72 , dochodzę do pewnego momentu i dalej już nie wiem co mam zrobić. Oto on
Rozważmy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}h_{1}\left( x,y,z\right) =8x^{2}-5y^{2}-3z^{2}=0\\h_{2}\left( x,y,z\right)=4z^{3}+9y^{2}-13z^{2}=0\\ h_{3}\left( x,y,z\right)=4yz^{2}-9y^{2}+5z^{2}=0\\h_{4}\left( x,y,z\right)=8xz^{2}+9y^{2}-17z^{2}=0\end{cases}}\)
nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Spróbujemy go przedstawić w prostszej postaci. Będziemy eliminować kolejne zmienne \(\displaystyle{ h=h_{3}+h_{2}}\) otrzymamy wielomian h, w którym nie występuje \(\displaystyle{ y^{2}}\) i otrzymujemy\(\displaystyle{ \left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} oraz \left\{h_{1},h_{2},h,h_{4} \right\}}\). dalej to chodzi o ten porządek leksykograficzny i algorytm redukcji na wielomianch \(\displaystyle{ h_{1},h_{4}}\)
\(\displaystyle{ h_{3}\stackrel{h_{2},y^{2}}{\rightarrow}h}\)
Tak więc mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} 18x^{2}+5z^{3}-23z^{2}=0\\9y^{2}+4z^{3}-13z^{2}=0\\ yz^{2}+z^{3}-2z^{2}=0\\2xz^{2}-z^{3}-z^{2}=0\end{cases}}\)
I teraz to musimy skorzystać z tego całego algorytmu Buchbergera.
Obliczamy S-wielomian 2 i 3 wielomianu no i tam dla ułatwienia to sobie przemnożyli przez 9
\(\displaystyle{ 9S\left(9y^{2}+4z^{3}-13z^{2}, yz^{2}+z^{3}-2z^{2}\right) =-9yz^{3}+18yz^{2}+4z^{5}-13z^{4}}\)
I teraz mam problem bo nie wiem skąd im się to równanie poniższe bierze a wydaje mi się, że to chodzi o monoidy tylko, że ja monoidów nie rozumiem pomożecie "(Dzieląc otrzymany wielomian przez układ zredukowany (ten przekształcony) otrzymujemy wielomian:)
\(\displaystyle{ z^{4}-4z^{3}+3z^{2}\in\left\langle h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\rangle}\)"
W tym miejscu utknęłam ale sprawdziłam w Singularze i przykład jest rozwiązany poprawnie, najgorsze jest to, że zrozumienie tego przykładu jest jak dla mnie niezbędne bo piszę pracę licencjacką w sumie to o układach. Prosiłam promotorkę o pomoc ale ona też na tym stanęła i kazała mi sobie wymyślić jakiś łatwiejszy przykład a nie taki jak ten skomplikowany tylko, żeby sobie wymyślić jakiś przykład to najpierw muszę zrozumieć całą idee rozwiązania takich układów.

Bardzo bym była wdzięczna za jakieś Chodź by wskazówki.

Ok, oznaczmy przez \(\displaystyle{ h_1', h_2', h_3', h_4'}\) te wielomiany z drugiego układu równań, który napisałaś. A niech \(\displaystyle{ f := -9yz^3+18yz^2+4z^5-13z^4}\). W książce jest (mały) błąd -- bo po podzieleniu \(\displaystyle{ f}\) przez układ \(\displaystyle{ \left[ h_1', h_2', h_3', h_4'\right]}\) (z porządkiem \(\displaystyle{ x > y > z}\)) dostajemy resztę \(\displaystyle{ 4z^5-4z^4-36z^3+36z^2}\), a nie taką, jak autor napisał.
Ale układ \(\displaystyle{ \left[ h_1', h_2', h_3', h_4', 4z^5-4z^4-36z^3+36z^2\right]}\) nadal nie stanowi bazy Groebnera. To nie szkodzi. Teraz możemy policzyć S-wielomian dla \(\displaystyle{ h_1'}\) oraz \(\displaystyle{ h_4'}\). Gdy podzielimy go przez układ pięciu wielomianów \(\displaystyle{ \left[ h_1', h_2', h_3', h_4', 4z^5-4z^4-36z^3+36z^2\right]}\), dostaniemy (z dokładnością do stałej) właśnie \(\displaystyle{ z^4 - 4z^3 +3z^2}\). Razem z tym wielomianem dostajemy, że bazą Groebnera tego ideału jest \(\displaystyle{ \left[ h_1', h_2', h_3', h_4', 4z^5-4z^4-36z^3+36z^2, z^4 - 4z^3 +3z^2\right]}\). Ale ta baza nie jest minimalna -- przedostatni wyraz ciągu możemy skreślić, bo jego wyraz wiodący jest podzielny (jako jednomian) przez wyraz wiodący ostatniego wielomianu. I po tym skreśleniu dostajemy bazę Groebnera, o jakiej mówił autor.
Aha, polecam książkę Ideals, Varieties and Algorithms

O dzięki już myślałam, że mi nikt nie pomoże. A jeszcze mam prośbę czy mógłbyś mi wytłumaczyć co to jest ten monoid wiodący bo nie czaję tego.

Co to monoid wiodący, to za bardzo nie wiem. Ja używałem tam określenia "wyraz wiodący", miałem na myśli ten wyraz (czyli jednomian razy współczynnik) wielomianu, którego jednomian jest największy przy ustalonym porządku.
Te rzeczy musisz rozumieć: co to jest porządek na zbiorze jednomianów (liniowy), to że rozważamy porządki, które są zgodne z mnożeniem oraz dobre (to ostatnie przy dwóch pierwszych warunkach jest równoważne temu, że dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) mamy \(\displaystyle{ x^\alpha \geq 1}\)). Zarówno algorytm dzielenia wielomianu przez kilka innych, jak i algorytm znajdowania bazy Groebnera zależą od tego porządku.

Dlaczego układ \(\displaystyle{ \left[ h_1', h_2', h_3', h_4', 4z^5-4z^4-36z^3+36z^2\right]}\) nadal nie stanowi bazy Groebnera? Czy liczymy tutaj wszystkie S-wielomiany i stwierdzamy że się nie redukują do zera, czy korzystamy z definicji bazy Groebnera?
Idąc dalej nie wiem przez co podzielić otrzymany S-wielomian dla \(\displaystyle{ h_1'}\) i \(\displaystyle{ h_4'}\) żeby wyszło \(\displaystyle{ z^4 - 4z^3 +3z^2}\)?
Bardzo proszę o wytłumaczenie.

Ten układ nie stanowi bazy Groebnera, bo właśnie S-wielomian dla \(\displaystyle{ h_1'}\) i \(\displaystyle{ h_4'}\) po podzieleniu przez układ \(\displaystyle{ h_1', h_2', h_3', h_4', 4z^5-4z^4-36z^3+36z^2}\) daje wielomian różny od \(\displaystyle{ 0}\). To znaczy, istnieje taka para wielomianów wśród tych pięciu (tutaj ta para to \(\displaystyle{ h_1'}\) i \(\displaystyle{ h_4'}\)), że S-wielomian od tej pary po podzieleniu przez układ tych pięciu wielomianów jest różny od \(\displaystyle{ 0}\). Jedna taka para wystarczy, żeby układ nie był bazą Groebnera.
Jesteś pewna, że znasz ten algorytm dzielenia? Wykonywałaś go kilka razy na papierze? Pamiętaj, że jeśli układ jest bazą Groebnera ideału i podzielimy coś z tego ideału przez ten układ, to dostajemy resztę zero. Jeśli układ nie jest bazą Groebnera, to może wyjść coś różnego od zera. Zauważ, że jeśli liczymy S-wielomian od dwóch wielomianów z ideału, to nadal dostajemy coś z ideału.

Z tym algorytmem dzielenia i dlaczego zbiór nie jest bazą chciałam się tylko upewnić. Jednak nie jestem pewna czy zostałam do końca dobrze zrozumiana przy pytaniu o dzielenie. Chodziło mi o to skąd wziął się wynik \(\displaystyle{ z^4 - 4z^3 +3z^2}\). S-wielomian dla \(\displaystyle{ h_1'}\) i \(\displaystyle{ h_4'}\) wyszedł mi taki \(\displaystyle{ S(h_1',h_4')=16x^2z^2+xz^3+xz^2+5z^5-2
3z^4}\). Według mnie da się on podzielić tylko przez wielomiany \(\displaystyle{ h_1'}\) i \(\displaystyle{ h_4'}\) z układu 5 wielomianów, jednak po żadnym podzieleniu nie wychodzi mi reszta równa \(\displaystyle{ z^4 - 4z^3 +3z^2}\). Bardzo proszę o jakieś wskazówki lub ewentualną poprawę złego rozumowania.

Według moich obliczeń
\(\displaystyle{ 18\cdot S(h_1',h_4') = z^2(18x^2+5z^3-23z^2)-9x(2xz^2-z^3-z^2)= \\
9xz^3+9xz^2+5z^5-23z^4\text{.}}\)
W algorytmie dzielenia 2 razy odejmujemy wielokrotność \(\displaystyle{ h_4'}\), raz wielokrotność \(\displaystyle{ z^5-z^4-9z^3+9z^2}\).

Faktycznie, S-wielomian wyszedł taki jak Pan napisał, moje przeoczenie i przez to wychodziły mi kosmiczne wyniki
Teraz wszystko jest już jasne, dziękuje bardzo za pomoc.