Matematyka.pl

W pudełku znajduje się 15 par rękawiczek, wśród których dowolne dwie pary różnią się od siebie. Z tego pudełka wybieramy losowo cztery rękawiczki.
a) Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego
b) Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A - wśród wylosowanych rękawiczek są dwie pary;
B - wśród wylosowanych rękawiczek nie ma ani jednej pary.
Prawdopodobieństwa zdarzeń A i B zapisz w postaci ułamków nieskracalnych.

\(\displaystyle{ |\Omega| = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \\
|A| = 30 \cdot 28 \\
|B| = 30 \cdot 28 \cdot 26 \cdot 24}\)

o ile w zdarzeniu B sposób z uwzględnieniem kolejności gwarantuje dobry wynik to w zdarzeniu A już nie. prawdopodobieństwo wychodzi trzykrotnie za małe. tok myślenia wydaje mi się okej - pierwsza rękawiczka na 30 sposobów, druga na 1 (ponieważ należy dobrać ją do pary), trzecia na 28 (bo dwie spośród 30 są juz zabrane) i czwarta na 1 (do pary).
jakieś pomysły? z góry dzięki.

edit: ponadto nadmienię, że wiem jak to obliczyć posługując się wzorem na kombinacje. niemniej jednak interesuje mnie dokładnie co jest nie tak w tym rozumowaniu, tymbardziej że podobne jest użyte przy zdarzeniu B i "działa".

Już omega mi się nie podoba - bierzesz 4 z 30.

wiem, wiem. powinno się użyć kombinacji. w zbiorze zadań jednak jest drobna sugestia, że powinno się zwrócić uwagę na kolejność losowania. gdy ty pisałeś swojego posta to ja edytowalem pierwszy; wiem jak obliczyć prawdopodobieństwo posługując się wzorami na kombinacje. zresztą można podzielić wszystko przez \(\displaystyle{ 4!}\) i kolejność bedzie bez znaczenia. ale wynik wciąż zły.

ciekawi mnie dokładnie co jest tutaj nie tak.

B jest ok.
Omega w porządku. Model możesz sobie wybrać jaki zapragniesz.

Jeśli chodzi o zdarzenie \(\displaystyle{ A}\), to brakuje przestawień. Ja podam inny schemat losowania:
Losujemy dwie pary możliwości jest \(\displaystyle{ \binom{15}{2}}\). Układamy te rękawiczki na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów, więc jest możliwości: \(\displaystyle{ \binom{15}{2}\cdot 4!}\).

brakuje przestawień

mógłbyś rozwinąć tą myśl?

Pierwszą owszem wybierzemy na 30 sposobów.
Pytanie na ile sposobów wybierzesz drugą?
Ty już od razu uznajesz, że druga wyciągnięta rękawiczka musi być do pary z pierwszą.
A wcale nie, bliźniacza rękawiczka pierwszej może się znaleźć w drugim bądź w trzecim, bądź też w czwartym losowaniu. A Ty tego nie uwzględniasz.
Jednak ja bym nie próbował tą drogą. Jest nie pewna. W moim opisie jesteśmy pewni, że są podane wszystkie możliwości wyciągnięcia dwóch par, i żadnej możliwości co by nie sprzyjała naszemu zdarzeniu.

Pyzol, pytanie:
Gdybyśmy użyli modelu z kombinacjami nie uwzględniamy po prostu \(\displaystyle{ 4!}\), czyli kolejności, tak?

mimo wszystko chciałbym dalej brnąć w ten sposób - by lepiej zrozumieć dany przykład. w porównaniu do OMa to zadanie i tak jest niczym, więc na pewno znajdzie się ktoś, kto potrafi mi to wytłumaczyć.
czy tych przestawień jest własnie trzy? dlatego prawdopodobieństwo wychodzi mi trzykrotnie za małe? bo mi się wydaje, że jest ich o wiele więcej niż trzy, więc znowu otrzymałbym zły wynik.

edit: chociaż nie, rzeczywiście są trzy możliwości.

pierwszą rękawiczkę wybieramy na 30 sposobów. i teraz są dwie możliwości:

a) w drugim losowaniu wyciągamy rękawiczkę nie do pary - na 28 sposobów,
w trzecim i czwartym dobieramy rękawiczki do odpowiednich par - na 2! sposobów;

b) w drugim losowaniu wyciągamy rękawiczkę do pary z pierwszą - oczywiście na tylko jeden możliwy sposób,
w trzecim losowaniu wybieramy pierwszą rękawiczkę z drugiej pary - na 28 sposobów, a w czwartym dobieramy do pary.

zatem mamy \(\displaystyle{ |A| = 30 \cdot 28 \cdot 2! + 30 \cdot 28 = 30 \cdot 28 \cdot 3}\)

czy prawidłowo myślę?