Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f _{n} :R \rightarrow R,}\)gdzie \(\displaystyle{ f _{n} (x)= \frac{\sin nx}{ \sqrt{n} } .}\)Pokazać ze jest zbiezny jednostajnie ale \(\displaystyle{ f' _{n}}\) nie zbiega do 0

Pochodna wyszła mi \(\displaystyle{ \sqrt{n} \cos nx}\) wiec to nie zbiega do zera .Ale jak pokazać pierwsza cześć??

Tutaj była super duża głupota, sory.

Nadal nie wiem jak

Nie wiem jak ja tam szereg widziałem, poza tym to i tak pewnie by nic nie dało.

Więc:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0}\)

Czyli punktowo zbiega do zera.

Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \sup_{x \in R } \left| \frac{\sin nx}{ \sqrt{n} }\right| \to 0}\)

Masz jakiś pomysł?

Granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \left| \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
To powinno wystarczyć do wykazania zbieżności jednostajnej.

A jak mam pokazać ze zbiega punktów do 0?

A do czego zbiega \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}}}\)?

Do 0

-- 19 kwi 2013, o 00:46 --

\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
Czyli jest ZZbiezny punktowo do 0 tak?

No to jeszcze dopisz supremum w mojej nierówności z lewej strony, i już masz pokazane to co napisał Tmkk.