Matematyka.pl

Witam.
Mam takie zadanie. Trzeba wyznaczyć wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla których równanie \(\displaystyle{ px^3+(p-3)x^2+(2-p)x=0}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie. Robię to tak:
\(\displaystyle{ px^3+(p-3)x^2+(2-p)x=x(px^2+(p-3)x+(2-p))=0}\)
1. \(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge x _{1} \cdot x _{2}>0 \wedge x _{1}+x _{2}>0}\) - dwa dodatnie rozwiązania - wychodzi \(\displaystyle{ p \in (0;1) \cup (1 \frac{4}{5} ;2)}\)
2. \(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge x _{1} \cdot x _{2}<0}\) - jedno dodatnie rozwiązanie - wychodzi \(\displaystyle{ p \in (- \infty ;0) \cup (2;+ \infty )}\)
3. \(\displaystyle{ \Delta =0 \wedge x _{1}=- \frac{b}{2a}>0}\) - jedno dodatnie rozwiązanie - wychodzi \(\displaystyle{ p \in (0;3)}\)
4. Dla \(\displaystyle{ p=0}\) mamy równanie liniowe z jednym rozwiązaniem, które jest dodatnie.
I teraz tak. Dwie sprawy. Czy do końcowej odpowiedzi mam wziąć sumę tych przedziałów, czy część wspólną i dlaczego? Proszę o wyjaśnienie, bo główkuję i nie mogę wymyślić. Druga to czy ktoś mógłby sprawdzić poprawność moich obliczeń, czy w ogóle koncepcja jest dobra?
Pozdrawiam

edit:
Żeby nie zakładać kolejnego tematu, zapytam tutaj. Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ (p+1)x^4-4px^2+p+1=0}\) ma cztery pierwiastki? Czy wyszedł mi poprawny wynik? \(\displaystyle{ p \in (- \infty ;-1) \cup (1;+ \infty )}\)

marek252 pisze:Witam.
Mam takie zadanie. Trzeba wyznaczyć wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla których równanie \(\displaystyle{ px^3+(p-3)x^2+(2-p)x=0}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie. Robię to tak:
\(\displaystyle{ px^3+(p-3)x^2+(2-p)x=x(px^2+(p-3)x+(2-p))=0}\)
1. \(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge x _{1} \cdot x _{2}>0 \wedge x _{1}+x _{2}>0}\) - dwa dodatnie rozwiązania - wychodzi \(\displaystyle{ p \in (0;1) \cup (1 \frac{4}{5} ;2)}\)
2. \(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge x _{1} \cdot x _{2}<0}\) - jedno dodatnie rozwiązanie - wychodzi \(\displaystyle{ p \in (- \infty ;0) \cup (2;+ \infty )}\)
3. \(\displaystyle{ \Delta =0 \wedge x _{1}=- \frac{b}{2a}>0}\) - jedno dodatnie rozwiązanie - wychodzi \(\displaystyle{ p \in (0;3)}\)
4. Dla \(\displaystyle{ p=0}\) mamy równanie liniowe z jednym rozwiązaniem, które jest dodatnie.

Witam. Zapomniałeś o jeszcze jednym przypadku, kiedy jeden pierwiastek tego równania kwadratowego jest równy 0, a drugi dodatni. Wtedy: \(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge x _{1} \cdot x _{2}=0 \wedge x _{1}+x _{2}>0}\)

marek252 pisze:Czy do końcowej odpowiedzi mam wziąć sumę tych przedziałów, czy część wspólną i dlaczego?

Sumę, bo wszystkie te przypadki są połączone spójnikiem "lub".

marek252 pisze:czy ktoś mógłby sprawdzić poprawność moich obliczeń, czy w ogóle koncepcja jest dobra?

Poza tym piątym przypadkiem wszystko się zgadza

marek252 pisze:Żeby nie zakładać kolejnego tematu, zapytam tutaj. Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ (p+1)x^4-4px^2+p+1=0}\) ma cztery pierwiastki? Czy wyszedł mi poprawny wynik? \(\displaystyle{ p \in (- \infty ;-1) \cup (1;+ \infty )}\)

Też się zgadza

Jeśli chodzi o ten piąty przypadek to tam będzie \(\displaystyle{ p=2}\)? Ostateczna odpowiedź \(\displaystyle{ p \in R}\)?
Co do drugiego zadania to błędu nie widzę, chyba, że koncepcja zła . Mogłabyś chociaż słownie, bo pisanie całości jest dość czasochłonne, napisać jak robić to zadanie? Sprawdzę założenia, bo błędu nie widzę.

tak, w piątym przypadku p=2 i ostateczny wynik to zbiór liczb rzeczywistych, a w drugim zadaniu to ja się pomyliłam w obliczeniach, wyszedł ci dobry wynik pozdrawiam

Dziękuję za pomoc.