Matematyka.pl

Witam, mam pytanie odnośnie prościutkiego zadania: Mamy 5 pasażerów i 10 pięter, obliczmy prawdopodobieństwo, że każdy pasażer wysiądzie osobno. Łatwo można to zapisać zakładając, że pasażerowie są rozróżnialni i używając wariacji, jednak zastanawiałem się jak podejść do problemu gdy założymy, że pasażerowie nie są rozróżnialni i sprowadzić do przypadku z kombinacjami (z powtórzeniami), mianowicie:

Wszystkie możliwości: \(\displaystyle{ {9 + 5\choose 5}}\) - czyli przenosimy myślenie na kule odgradzane przegrodami, kul jest tyle ile pasażerów czyli 5, z kolei przegród o jedną mniej niż pięter (9 przegród to 10 pięter) i mamy szczególny przypadek permutacji z powtórzeniami, a w zasadzie kombinację \(\displaystyle{ \frac{14!}{5! \cdot 9!} = {14 \choose 5}}\) (powtarzają się 5 razy kule i 9 razy przegrody)

Możliwości dla naszego zdarzenia: podobnie jak wyżej z tym wyjątkiem, tyle że z góry rezerwujemy \(\displaystyle{ 4}\) przegrody na oddzielenie 5 kul między sobą co zagwarantuje nam powstanie układu dla którego żadna dwójka pasażerów nie wysiądzie na tym samym piętrze, zatem zostaje nam nadal \(\displaystyle{ 9-4=5}\) przegród, czyli możliwości zostaje \(\displaystyle{ {5+5 \choose 5} = {10 \choose 5}}\)

Jest to rozwiązanie błędne, bo prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A)}\) wychodzi około 3 razy mniejsze niż powinno, licząc metodą wariacji przy założeniu rozróżnialności pasażerów. Uprzejmie prosiłbym o wytłumaczenie, dlaczego powyżej opisana metoda tutaj nie działa

Pozdrawiam.

Dzielić liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych możesz tylko wtedy, gdy zdarzenia są równoprawdopodobne. A tu nie są. Nieco prostszy przykład:
Trzykrotnie rzucasz monetą (albo rzucasz trzema monetami). Mamy \(\displaystyle{ {1+3 \choose 3} = 4}\) możliwości - OOO, ROO, RRO, RRR. Tyle te środkowe mają prawd. równe \(\displaystyle{ \frac 38}\) a OOO i RRR mają po \(\displaystyle{ \frac 18}\)

Kombinacje z powtórzeniami, a wariacje, to całkiem inne modele. Ten pierwszy jest "nieżyciowy". Jest bardzo mało przypadków gdzie się go stosuje jeśli chodzi o prawdopodobieństwo.

Jeśli chodzi o twoje rozwiązanie, to żeby zagwarantować, by każda osoba wysiadła dna innym piętrze, wystarczy najpierw wybrać 5 pięter, w które wrzucimy po jednej osobie. Możliwości jest więc \(\displaystyle{ \binom{10}{5}}\).