EGMO 2013 - zadania

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn

EGMO 2013 - zadania

Post autor: Msciwoj » 14 kwie 2013, o 15:13

Basia Mroczek zdobyła złoto, Ania Hoduń srebro, Ania Olech i Ania Czerwińska brąz.

Pierwszy dzień:

Zadanie 1. Bok \(BC\) trójkąta \(ABC\) przedłużono poza punkt \(C\), otrzymując taki punkt \(D\), że \(CD = BC\). Bok \(CA\) przedłużono poza punkt \(A\), uzyskując taki punkt \(E\), że \(AE = 2CA\).
Wykazać, że jeżeli \(AD = BE\), to trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(m\), dla których kwadrat \(m \times m\) można rozciąć na pięć prostokątów o bokach będących liczbami \(1,2,3,...,10\) w pewnym porządku.

Zadanie 3. Niech \(n\) będzie dodatnią liczbą całkowitą.

(a) Dowieść, że istnieje taki zbiór \(S\) złożony z \(6n\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych, że najmniejsza wspólna wielokrotność dowolnych dwóch elementów tego zbioru nie przekracza \(32n^2\).

(b)Dowieść, że każdy zbiór \(T\) złożony z \(6n\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych zawiera dwa elementy, których najmniejsza wspólna wielokrotność jest większa od \(9n^2\).

Drugi dzień:

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite \(a\) i \(b\) o tej własności, że istnieją trzy kolejne liczby całkowite, w których wielomian
\(P(n) = \frac{n^5 +a}{b}\)

przyjmuje całkowite wartości.

Zadanie 5. Niech \(\Omega\) będzie okręgiem opisanym na trójkącie \(ABC\). Okrąg \(\omega\) jest styczny do boków \(AC\) i \(BC\) oraz styczny wewnętrznie do okręgu \(\Omega\) w punkcie \(P\). Prosta równoległa do prostej \(AB\) i przecinająca wnętrze trójkąta \(ABC\) jest styczna do okręgu \(\omega\) w punkcie \(Q\).
Udowodnić, że \(\angle ACP = \angle QCB\).

Zadanie 6. Królewna Śnieżka i siedmiu krasnoludków mieszkają w swoim domku w lesie. Każdego spośród \(16\) kolejnych dni niektóre krasnoludki pracowały w kopalni diamentów, a pozostałe zbierały jagody w lesie. Żaden krasnoludek nie wykonywał obu tych prac jednego dnia. W każde dwa różne (niekoniecznie kolejne) dni co najmniej trzy krasnoludki wykonywały oba rodzaje prac. Ponadto pierwszego dnia każdy z siedmiu krasnoludków pracował w kopalni diamentów.
Udowodnić, że pewnego spośród tych \(16\) dni każdy z siedmiu krasnoludków zbierał jagody.

Szkice moich rozwiązań tych zadań, nad którymi mi się chciało myśleć:

ad 1.
Ukryta treść:    
ad 4.
Ukryta treść:    

ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

EGMO 2013 - zadania

Post autor: ElEski » 15 kwie 2013, o 20:30

Bardzo szkicowe szkice moich rozwiązań:

1.
Ukryta treść:    
2.
Ukryta treść:    
4.
Ukryta treść:    
5.
Ukryta treść:    
6.
Ukryta treść:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna

EGMO 2013 - zadania

Post autor: kaszubki » 15 kwie 2013, o 20:46

ElEski pisze: 6.
Ukryta treść:    
Nie.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

EGMO 2013 - zadania

Post autor: timon92 » 15 kwie 2013, o 21:08

ElEski pisze:5.
Ukryta treść:    
na pewno środkiem okręgu dopisanego? jak liczysz kąty w rozwiązaniu bez inwersji?
Msciwoj pisze:ad 1.
Ukryta treść:    
lol

Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn

EGMO 2013 - zadania

Post autor: Msciwoj » 15 kwie 2013, o 21:23

timon92, nie miałem czasu się tym zająć, to wychodzi łącznie w 4 linijki.

ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

EGMO 2013 - zadania

Post autor: ElEski » 15 kwie 2013, o 22:10

timon92,
Literówka, punkt styczności

kaszubki,
Zobaczymy xD

Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

EGMO 2013 - zadania

Post autor: Panda » 15 kwie 2013, o 23:30

3a:    
-- 16 kwietnia 2013, 01:05 --
3b malutki szkic:    

Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn

EGMO 2013 - zadania

Post autor: Msciwoj » 20 kwie 2013, o 21:36

U nas na geometrii w szkole udało się znaleźć 6 istotnie różnych rozwiązań pierwszego, co oznacza, że spełnia ona jeden z warunków dostatecznych do uznania go za zadanie łatwe.

5.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

EGMO 2013 - zadania

Post autor: Swistak » 21 kwie 2013, o 22:53

Msciwoj - jest to pewne kryterium uznania zadania za łatwe, ale nie zawsze jest ono dobre - najlepszym przykładem jest tutaj funkcja parkingowa .

ODPOWIEDZ