Matematyka.pl

Czy istnieje homomorfizm \(\displaystyle{ f}\) grup \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H}\) gdzie:
\(\displaystyle{ G = (\mathbb{Z}, +), H = S _{9}, f(1) = (1,2,3)}\)

Bardziej od samej odpowiedzi interesowało by mnie jak w ogóle się za to zabrać. O ile miałem bardziej liczbowe przypadki jakoś to rozszyfrowałem, ale tu...

PS. rozumiem, że w \(\displaystyle{ H}\) działaniem jest złożenie cykli, tak?

Pomiędzy dowolnymi dwiema grupami \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H}\) istnieje homomorfizm trywialny:

\(\displaystyle{ h\colon G\to H}\)

dany wzorem

\(\displaystyle{ h(x) = 1_H\;\;\;(x\in G)}\).

Co masz na myśli przez \(\displaystyle{ 1_{H}}\)? Element neutralny w \(\displaystyle{ H}\)?

Wszystko fajnie, tylko ja miałem w zadaniu sprecyzowane, że \(\displaystyle{ f}\) które jest homomorfizem z \(\displaystyle{ G}\) w \(\displaystyle{ H}\) przyjmuje w jedynce wartość cyklu: \(\displaystyle{ f(1) = (1\;2\;3)}\), a twój sposób to chyba każdy \(\displaystyle{ x}\) przenieść na element neutralny co nie zadziała tu?

Homomorfizm przenosi element neutralny na element neutralny, a \(\displaystyle{ (123)}\) nie jest elementem neutralnym \(\displaystyle{ S_9}\).

Spektralny pisze:Homomorfizm przenosi element neutralny na element neutralny, a \(\displaystyle{ (123)}\) nie jest elementem neutralnym \(\displaystyle{ S_9}\).

Ale \(\displaystyle{ 1}\) nie jest elementem neutralnym \(\displaystyle{ G}\), tylko \(\displaystyle{ 0}\).

RippeR37 pisze:PS. rozumiem, że w \(\displaystyle{ H}\) działaniem jest złożenie cykli, tak?

Złożenie permutacji.

A żądanym homomorfizmem jest:
\(\displaystyle{ f(3k)= Id \\
f(3k+1) = (123)\\
f(3k+2) = (132)}\)

Q.

Jasne, źle przeczytałem.

@Qń - a jakieś wskazówki jak samemu do tego dojść?

Zazwyczaj robię tak, że wiem że element naturalny w G przechodzi na el. naturalny w H, coś mamy podanego i z tego chcę dalej otrzymać, ale skąd otrzymać taki wynik?

Dobrze rozumiem, że mam coś w stylu

\(\displaystyle{ f(0) = Id\\
f(1) = (1\;2\;3)\\
f(2) = f(1+1) = f(1) \cdot f(1) = (1\;2\;3) \cdot (1\;2\;3) = (1\;3\;2)\\
f(3) = f(1 + 2) = f(1) \cdot f(2) = Id}\)
i na tej podstawie widać już (no i rząd tego cyklu jest 3 więc wiadomo że po 3 się będzie powtarzał) mogę dojść do wzoru (który został podany)? Czy coś pominąłem?