Matematyka.pl

Witam. Wydaję mi się, że kiedyś przeczytałem gdzieś, że każdą liczbę pierwszą poza dwójką można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ 4n-1}\)
lub
\(\displaystyle{ 4n+1}\)
gdzie n jest liczbą naturalną. Teraz ta właściwość przydałaby mi się do rozwiązania pewnego zadania na dowód, ale nie jestem pewien czy jest prawdziwa. Wiem, że sprawdza się dla wszystkich liczb które ja sprawdziłem (ale to żaden dowód). W internecie znalazłem tylko informację że zarówno liczb o pierwszej jak i drugiej postaci jest nieskończenie wiele. Zastanawiam się czy to moje umiejętności szukania zawodzą czy po prostu źle zapamiętałem tamto twierdzenie (o którym czytałem dawno temu).
Jeśli faktycznie to prawda, to czy jest to tylko przypuszczenia które sprawdza się dla każdej znanej nam liczby pierwszej, czy twierdzenie które potrafimy udowodnić? Jeśli taki dowód istnieje, to jak wygląda?
Z góry dziękuję.

Tak, to jest prawda, ponieważ z racji tego, że liczby pierwsze są nieparzyste z wyjątkiem \(\displaystyle{ 2}\), wiemy, że mogą dawać tylko reszty \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\)

Balduran pisze:Witam. Wydaję mi się, że kiedyś przeczytałem gdzieś, że każdą liczbę pierwszą poza dwójką można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ 4n-1}\)
lub
\(\displaystyle{ 4n+1}\)
gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną.

Ja bym nawet zaryzykował bardziej spektakularne (choć równoważne) twierdzenie:

Każdą liczbę pierwszą poza dwójką można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ 2n+1}\)
gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną,

czyli w wersji bez znaczków

Każda liczba pierwsza poza dwójką jest nieparzysta.

JK

Jan Kraszewski, sprowadza się to do zauważenia, że liczby pierwsze poza dwójką są nieparzyste

Ciekawsze, a niewiele trudniejsze jest stwierdzenie:

Każda liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ 3}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) lub \(\displaystyle{ 6k-1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\NN}\)