Matematyka.pl

No i jak poszło? Jakie wrażenia odnośnie trudności zadań? Ile obstawiacie na laureata?

Zadanka proste. Kto jeszcze zrobił wszystkie?

Robiliście w trzecim analizę? Zdaje się, że był podobny poziom zadanek jak w zeszłym roku. Obstawiam 84 na laureata.

Treść?

1. Z odcinka \(\displaystyle{ \left\langle 0, 2\right\rangle}\) wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że równanie \(\displaystyle{ a x^{2}+2ax+3b=0}\) będzie miało różne pierwiastki rzeczywiste?

2. Mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_{1}, A _{2}, ... ,A_{n}}\) na płaszczyźnie, że żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Tworzymy na wszystkie możliwe sposoby trójki różnych odcinków o końcach w punktach wybranych spośród \(\displaystyle{ n}\) danych punktów. Wyznaczyć liczbę różnych trójkątów, które możemy w ten sposób otrzymać, jeżeli wiemy, że liczba możliwych do utworzenia w ten sposób różnych łamanych otwartych jest dwa razy mniejsza od liczby wszystkich możliwych do utworzenia trójek różnych odcinków o końcach w punktach wybranych spośród \(\displaystyle{ n}\) danych punktów.

3. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)}\), jeżeli
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-4 }{x ^{2}-9 }}\) .
Następnie znaleźć i wykreślić zależność liczby różnych pierwiastków rzeczywistych równania \(\displaystyle{ f(x)=m}\) od rzeczywistego parametru \(\displaystyle{ m}\).

4. Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ 4 \sin(2x)+4 \cos(2x)-4= \frac{\tg x + \sqrt{3} }{\cos x + \sin x}}\)

5. Punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Na odcinkach \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ AD}\) wybrano odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\), \(\displaystyle{ R}\) tak, że na czwowokącie \(\displaystyle{ APQR}\) można opisac okrąg. Udowodnij, że

\(\displaystyle{ |AP| \cdot |AB|+|AR| \cdot |AD|=|AQ| \cdot |AC|}\)

Czy w zadaniu pierwszym jest milczące założenie o rozkładzie jednostajnym?

1 Pierwsze trzeba było metodą pól , wszystko umiałem tylko nie prawdopodobieństwo , ew. całką coś
Ja to robiłem "na zdrowy rozum" i odpowiedź mam ok
2 Fajna kombinatoryka + wielomian do rozłożenia na czynniki
3 Jak co roku jedno darmowe musi być
4 Moją pięta achillesowa , po prostu jeszcze tego nie umiem
5 Baaardzo fajna geometria widać jak byk , że musi być ptolemeusz

Jak na debiut bardzo się cieszę

No ja mimo wszystko uważam, że trudniejsze niż w zeszłym roku.
3 darmowe 1 i 4 łatwe, 5 z pompego więc dla niektórych darmowe. A drugie, pół godziny więcej i bym je zrobił. No więc ogólnie tytułu nie obronię, ale i tak jest nienajgorzej.

Ktoś rzuci swoimi odpowiedziami?

Ktoś jeszcze 5 zadanek zaznaczył w ankiecie - przyznać się kto. Mogli dać nieco trudniejsze, żeby o najwyższych miejscach decydowała liczba zrobionych zadań, a nie drobiazgi po 1-2 punkty.
Co do piątego - gdy pałowanie działa, to zadanie nie jest fajne. Ale co zrobić?

Pozostaje nam trzymać kciuki, że Kaszubie potną.

@bakala12 , uczymy się zadanek na pamięć ,co ?

No jasne daleko bym zaszedł z takim podejściem Jak się solidnie przerobiło Pompego to pewpne zadania po prostu się pamięta.

No to geo było naprawdę nieskończenie znane.

Głupi jestem, bo myślałem nad geo jakieś pól minuty, po czym stwierdziłem że to pewnie Ptolemeusz ale go nie widzę, więc przeliczę to analitycznie, bo nie mam czasu. I nawet wyszło. Ale jak teraz na to popatrzyłem jeszcze raz, to szybciej by było, gdybym jednak pomyślał...

I nie wiem jak mogłem nie zauważyć \(\displaystyle{ \sin(x+\frac{\pi}{3})}\) w czwartym...